- 数学A｜場合の数と確率「組合せとCの公式」の基本例題解説ページです。
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問題｜組合せとCの公式
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
組合せとCの公式
\(n\) 個のものから \(r\) 個選ぶ組合せの総数は、\({}_n{\rm C}_r\) と表す。（ただし、\(0{\small ~≦~}r{\small ~≦~}n\)）
\({}_n{\rm C}_r=\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,r!\cdot(n-r)!\,}\)
特に、\({}_n{\rm C}_0=1~,~{}_n{\rm C}_n=1\) が成り立つ。
■ \({}_5{\rm C}_3\) の計算方法
分子は \(5\) から \(1\) ずつ小さくした \(3\) 個の積を並び、分母は \(3!\) とする。
\({}_5{\rm C}_3=\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}=10\)
また、次の性質が成り立つ。
\({}_n{\rm C}_r={}_n{\rm C}_{n-r}\)
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詳しい解説｜組合せとCの公式
\({}_4{\rm C}_2~,~\)\({}_5{\rm C}_3~,~\)\({}_6{\rm C}_0~,~\)\({}_7{\rm C}_7~,~\)\({}_8{\rm C}_6\) の計算方法は？また、生徒 \(8\) 人から \(4\) 人の代表の選び方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_4{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot 3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_5{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_0=1\end{eqnarray}\)
※ \(6\) 個のものから \(0\) 個選ぶことは、何も選ばない組合せのただ \(1\) 通りとなる。
\(\begin{eqnarray}~~~{}_7{\rm C}_7=1\end{eqnarray}\)
※ \(7\) 個のものから \(7\) 個すべて選ぶことは、すべて選ぶ組合せのただ \(1\) 通りとなる。
\(\begin{eqnarray}~~~{}_8{\rm C}_6&=&{}_8{\rm C}_2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{8}^{4} \cdot 7\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&4 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
※ \(8\) 個のものから \(6\) 個選ぶことと、\(8\) 個のものから \(2\) 個のいらないものを選ぶ（\(2\) 個を残す）ことと同じになる。
\(8\) 人の中から \(4\) 人を選ぶので、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_8{\rm C}_4&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{8}^2 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 7 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&70\end{eqnarray}\)
したがって、\(70\) 通りとなる
