- 数学A｜場合の数と確率「確率と変量の期待値」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率と変量の期待値
場合の数と確率 56\(1\) 個のさいころを \(1\) 回投げるとき、出た目の期待値の求め方は？また、\(1\) の目が出たら \(100\) 点、\(2\) 〜 \(4\) の目が出たら \(10\) 点、\(5\) または \(6\) の目が出たら \(0\) 点のとき、得点の期待値の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
確率と変量の期待値
Point：確率と変量の期待値
① 確率変数 \(X\) と \(X\) の変量をとる確率 \(P\) をまとめて、表にする。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~X~ & 100 & 10 & 0 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
※ 確率の和が \(1\) になることに注意。
② 確率変数 \(X\) × 確率 \(P\) の和が期待値 \(E(X)\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,100 {\, \small \times \,} 1+10 {\, \small \times \,} 3+0 {\, \small \times \,} 2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,65\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
期待値は、
① 確率変数 \(X\) と \(X\) の変量をとる確率 \(P\) をまとめて、表にする。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~X~ & 100 & 10 & 0 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
※ 確率の和が \(1\) になることに注意。
② 確率変数 \(X\) × 確率 \(P\) の和が期待値 \(E(X)\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,100 {\, \small \times \,} 1+10 {\, \small \times \,} 3+0 {\, \small \times \,} 2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,65\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜確率と変量の期待値
場合の数と確率 56
\(1\) 個のさいころを \(1\) 回投げるとき、出た目の期待値の求め方は？また、\(1\) の目が出たら \(100\) 点、\(2\) 〜 \(4\) の目が出たら \(10\) 点、\(5\) または \(6\) の目が出たら \(0\) 点のとき、得点の期待値の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
さいころ \(1\) 個を \(1\) 回投げるとき、出た目の確率変数 \(X\) と \(X\) の変量をとる確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
~X~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1 {\, \small \times \,} 1+2 {\, \small \times \,} 1+3 {\, \small \times \,} 1+4 {\, \small \times \,} 1+5 {\, \small \times \,} 1+6 {\, \small \times \,} 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) である。
この得点を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
~目の数~ & 1 &|& 2~~3~~4 &|& 5~~6 & \\[5pt]
\hline
~X~ & 100 && 10 && 0 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} && \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} && \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,100 {\, \small \times \,} 1+10 {\, \small \times \,} 3+0 {\, \small \times \,} 2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100+30\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,130\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,65\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,65\,}{\,3\,}\) 点である。
