確率と変量の期待値

数研出版｜数学A[712] p.77 問題 13
数研出版｜数学A[104-901] p.77 問題 13
東京書籍｜Standard数学A[702] p.73 Training 25
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.61 Training 21

\(2\) つのさいころを \({\rm A}~,~{\rm B}\) とし、同時に投げたときの目の和の表は、

---

　\(\begin{array}{c|cccccc}
+ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12
\end{array}\)

---

これより、全事象は、\(6 {\, \small \times \,} 6=36\) 通り

---

目の和 \(X\) は \(2\) 〜 \(12\) の値をとり、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、

---

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\(7\) である。

数研出版｜数学A[712] p.78 演習問題A 6
数研出版｜数学A[104-901] p.78 演習問題A 6

\({\rm A}\) がもらう金額は \(200\) 円なので、

---

\({\rm A}\) の期待値は \(200\) である。

---

\({\rm B}\) はさいころを投げて、\(1\) の目が出たとき \(x\) 円、\(1\) 以外の目が出たとき \(100\) 円もらうので、

---

確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、

---

　\(\begin{array}{c|cc|c}
~X~ & x & 100 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

---

よって、\({\rm B}\) の期待値 \(E(X)\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,x {\, \small \times \,} 1+100 {\, \small \times \,} 5\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+500\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

---

\({\rm A}\) と \({\rm B}\) の期待値が等しくなるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+500\,}{\,6\,}&=&200
\\[5pt]~~~x+500&=&1200
\\[3pt]~~~x&=&700\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(x=700\) のときである。

数研出版｜高等学校数学A[713] p.70 問題 13

三者択一式の問題で、でたらめに答えを選ぶとき、\(1\) 問に正解する確率は、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

---

また、正解しない事象 \(\overline{A}\) の確率は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

 
 

\({\small (1)}~\) \(6\) 問中、\(1\) 問だけ正解するのは、

---

　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,6\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,5\,回 \\[5pt]
\hline
{}_6{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)

---

それぞれの試行は互いに独立であるので、反復試行の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^5
\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^5\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 {\, \small \times \,} 32\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,192\,}{\,729\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,243\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,243\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\) 正解する問題数を \(X\) とすると、\(X\) は \(0\) 〜 \(6\) の値をとる。

---

\(X=k\) 問正解する確率は、反復試行の確率より、

---

　\({}_6{\rm C}_k {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^k {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{6-k}\)

---

確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、

---

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\(2\) 問である。

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.60 問題 18
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.60 問題 18

\(2\) つのさいころを \({\rm A}~,~{\rm B}\) とし、同時に投げたときの目の大きいほうの表は、

---

　\(\begin{array}{c|cccccc}
{\rm A} \backslash {\rm B} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6\\
4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6\\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6\\
6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6
\end{array}\)

---

これより、全事象は、\(6 {\, \small \times \,} 6=36\) 通り

---

得点 \(X\) は \(1\) 〜 \(6\) の値をとり、それぞれの場合の数は、

---

　\(X=1\) ：\(1\) 通り
　\(X=2\) ：\(3\) 通り
　\(X=3\) ：\(5\) 通り
　\(X=4\) ：\(7\) 通り
　\(X=5\) ：\(9\) 通り
　\(X=6\) ：\(11\) 通り

---

確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、

---

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,161\,}{\,36\,}\) である。

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.62 練習問題A 7
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.62 練習問題A 8
東京書籍｜Standard数学A[702] p.75 Level Up 12
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.63 Level Up 11

\({\rm A}\) が \({\rm B}\) に勝つ確率は、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)

---

また、\({\rm A}\) が負ける事象 \(\overline{A}\) の確率は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,5-3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

\({\rm A}\) が勝つ試合数を \(X\) とすると、\(X\) は \(0\) 〜 \(3\) の値をとる。

---

\(X=k\) 回勝つ確率は、反復試行の確率より、

---

　\({}_3{\rm C}_k {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^k {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^{3-k}\)

---

確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、

---

　\(\begin{array}{c|cccc|c}
~X~ & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,8\,}{\,125\,} & \displaystyle\frac{\,36\,}{\,125\,} & \displaystyle\frac{\,54\,}{\,125\,} & \displaystyle\frac{\,27\,}{\,125\,} & 1
\end{array}\)

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}\) 試合である。

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.63 練習問題B 12
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.63 練習問題B 13

\(1\) 枚の硬貨を投げて表が出る事象 \(A\) は、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

---

また、裏が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、

---

　\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

 
 

\({\small (1)}~\) この試行を \(4\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、

---

　\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+2) & \overline{A}~(+1) \\[5pt]
\hline
4~回 & r~回 & 4-r~回
\end{array}\)

---

\(A\) のとき \(+2\)、\(\overline{A}\) のとき \(+1\) より、\(4\) 回目での点の座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+2)+(4-r) {\, \small \times \,} (+1)\\[3pt]~~~&=&2r+4-r\\[3pt]~~~&=&r+4\end{eqnarray}\)

---

ここで、座標 \(5\) に到達するときは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~r+4&=&5\\[3pt]~~~r&=&1\end{eqnarray}\)

---

よって、事象 \(A\) が \(1\) 回起こる

---

　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,3\,回 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)

---

反復試行の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3
\\[5pt]~~~&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\) 座標 \(3\) 以上の点に初めて到達するまでの場合を考える。

---

硬貨を \(1\) 回投げたときは、

---

　表 \((+2)\) → 座標 \(2\)
　裏 \((+1)\) → 座標 \(1\)

---

座標 \(3\) 以上に到達しない。

---

硬貨を \(2\) 回投げたときは、

---

　表表 → 座標 \(4\) ：到達 ○
　表裏 → 座標 \(3\) ：到達 ○
　裏表 → 座標 \(3\) ：到達 ○
　裏裏 → 座標 \(2\) ：到達 ✕

---

よって、\(2\) 回で初めて座標 \(3\) 以上に到達する確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)

---

硬貨を \(3\) 回投げたときは、

---

\(2\) 回目まで裏裏（座標 \(2\)）で、\(3\) 回目に表でも裏でも座標 \(3\) 以上に到達するので、

---

　裏裏表 → 座標 \(4\) ：到達 ○
　裏裏裏 → 座標 \(3\) ：到達 ○

---

よって、\(3\) 回で初めて座標 \(3\) 以上に到達する確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)

---

確率変数 \(X\)（投げる回数）とその確率 \(P\) は、

---

　\(\begin{array}{c|cc|c}
~X~ & 2 & 3 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & 1
\end{array}\)

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,2 {\, \small \times \,} 3+3 {\, \small \times \,} 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6+3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\) 回である。

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.63 練習問題B 13

\(1\) 回の試行で赤球を取り出す確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

---

これより、白球を取り出す確率は、

---

　\(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

---

\(3\) 回目で終了するとき、

---

　\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]同色 & 同色 & 同色
\end{array}\)

---

すべて同じ色が出るので、

---

赤赤赤の場合は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\)

---

白白白の場合は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)

---

よって、\(3\) 回目で終了する確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

\(4\) 回目で終了するとき、

---

　\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] 一方が\,2\,回~,~他方が\,1\,回 & 2\,回の方
\end{array}\)

---

\(1\) 回目〜 \(3\) 回目で一方が \(2\) 回、他方が \(1\) 回となり、\(4\) 回目で \(2\) 回の方が出る場合であるので、

---

赤が \(3\) 回目に記録される場合は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,81\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

---

白が \(3\) 回目に記録される場合は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,81\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(4\) 回目で終了する確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

---

\(5\) 回目で終了するとき、

---

　\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] 一方が\,2\,回~,~他方が\,2\,回 & どちらか
\end{array}\)

---

\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で赤白それぞれ \(2\) 回ずつとなり、\(5\) 回目でどちらかが出る場合であるので、

---

赤が \(3\) 回目に記録される場合は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,243\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}\end{eqnarray}\)

---

白が \(3\) 回目に記録される場合は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,243\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,81\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(5\) 回目で終了する確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,81\,}=\displaystyle \frac{\,24\,}{\,81\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、確率変数 \(X\)（取り出す回数）とその確率 \(P\) は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc|c}
~X~ & 3 & 4 & 5 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,10\,}{\,27\,} & \displaystyle\frac{\,8\,}{\,27\,} & 1
\end{array}\)

---

よって、期待値 \(E(X)\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,3 {\, \small \times \,} 9+4 {\, \small \times \,} 10+5 {\, \small \times \,} 8\,}{\,27\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+40+40\,}{\,27\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,107\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,107\,}{\,27\,}\) 回である。