点の移動と反復試行の確率

\(1\) 個のさいころを投げて \(2\) 以下の目が出る事象 \(A\) は、

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　全事象が \(\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6\,\}\)

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　\(2\) 以下の目は \(\{\,1~,~2\,\}\)

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これより、確率は、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

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また、\(2\) 以下の目が出ない事象 \(\overline{A}\) の確率は、

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　\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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この試行を \(6\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、

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　\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+2) & \overline{A}~(-1) \\[5pt]
\hline
6~回 & r~回 & 6-r~回
\end{array}\)

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\(A\) のとき \(+2\)、\(\overline{A}\) のとき \(-1\)より、\(6\) 回目での点の座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+2)+(6-r) {\, \small \times \,} (-1)\\[3pt]~~~&=&2r-6+r\\[3pt]~~~&=&3r-6\end{eqnarray}\)

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ここで、原点に戻るときは、

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\(\begin{eqnarray}~~~3r-6&=&0\\[3pt]~~~3r&=&6\\[3pt]~~~r&=&2\end{eqnarray}\)

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よって、事象 \(A\) が \(2\) 回起こる

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　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,6\,回 & Aが\,2\,回 & \overline{A}が\,4\,回 \\[5pt]
\hline
{}_6{\rm C}_2 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)

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反復試行の確率より、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_6{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 5 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^{6}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2^4\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,243\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,80\,}{\,243\,}\) となる