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問題｜等式ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣの証明
場合の数と確率 24等式 \({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\)（ただし、\(1{\small ~≦~}r{\small ~≦~}n-1~,~n{\small ~≧~}2\)）の証明方法は？また、組合せ \({}_n{\rm C}_2~,~\)\({}_n{\rm C}_{n-3}\) を \(n\) と \(r\) を使った文字式で表す方法は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
等式ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣの証明
Point：等式ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣの証明
① \({}_n{\rm C}_r\) は \(n\) 個のものから \(r\) 個選ぶ組合せの総数となる。
② \(n\) 個のものにある特定の \(1\) 個について、\(r\) 個の中に含む場合と含まない場合のそれぞれについて、組合せの総数を求める。
含む場合は、\(n-1\) 個から \(r-1\) 個選ぶ
\({}_{n-1}{\rm C}_{r-1}\) 通り
含まない場合は、\(n-1\) 個から \(r\) 個選ぶ
\({}_{n-1}{\rm C}_r\) 通り
③ 和の法則より、等式が成り立つ。
等式 \({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\) の証明は、
① \({}_n{\rm C}_r\) は \(n\) 個のものから \(r\) 個選ぶ組合せの総数となる。
② \(n\) 個のものにある特定の \(1\) 個について、\(r\) 個の中に含む場合と含まない場合のそれぞれについて、組合せの総数を求める。
含む場合は、\(n-1\) 個から \(r-1\) 個選ぶ
\({}_{n-1}{\rm C}_{r-1}\) 通り
含まない場合は、\(n-1\) 個から \(r\) 個選ぶ
\({}_{n-1}{\rm C}_r\) 通り
③ 和の法則より、等式が成り立つ。
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詳しい解説｜等式ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣの証明
場合の数と確率 24
等式 \({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\)（ただし、\(1{\small ~≦~}r{\small ~≦~}n-1~,~n{\small ~≧~}2\)）の証明方法は？また、組合せ \({}_n{\rm C}_2~,~\)\({}_n{\rm C}_{n-3}\) を \(n\) と \(r\) を使った文字式で表す方法は？
高校数学A｜場合の数と確率
[証明] 左辺 \({}_n{\rm C}_r\) は、異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個選ぶ組合せの総数である
よって、この異なる \(n\) 個の中の特定の \(1\) 個を \(a\) とすると、
\(\small [\,1\,]\) 取り出す \(r\) 個の中に \(a\) を含むとき
\(a\) を取り出すことは決まっているので、\(a\) 以外の \(n-1\) 個から残りの \(r-1\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_{r-1}\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 取り出す \(r\) 個の中に \(a\) が含まれていないとき
\(a\) 以外の \(n-1\) 個から、\(r\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_r\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\) [終]
\(\require{cancel}\)
公式 \({}_n{\rm C}_r=\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,r!\cdot(n-r)!\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_n{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,2!\cdot(n-2)!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\cdot\cancel{(n-2)!}\,}{\,2!\cdot\cancel{(n-2)!}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
公式 \({}_n{\rm C}_r=\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,r!\cdot(n-r)!\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_n{\rm C}_{n-3}&=&\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,(n-3)!\cdot\{n-(n-3)\}!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)(n-2)\cdot\cancel{(n-3)!}\,}{\,\cancel{(n-3)!}\cdot3!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)(n-2)\,}{\,3\cdot2\cdot1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)(n-2)\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
