図形の性質と組合せ

\(6\) 個の頂点から \(3\) 個を選んで結ぶと三角形が \(1\) つできる

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\(6\) 個のものから \(3\) 個を選ぶ組合せより、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_6{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)

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したがって、できる三角形は \(20\) 個となる

 
 

\(6\) 個の頂点から \(2\) 個を選んで結ぶと線分が \(1\) 本できる

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\(6\) 個のものから \(2\) 個を選ぶ組合せより、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)

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ただし、これは \(6\) 本の辺も含んでいるので、対角線の本数は、

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　\(15-6=9\)

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したがって、\(9\) 本となる

 
 

\(3\) 本の平行線から \(2\) 本選び、別の \(5\) 本の平行線から \(2\) 本選ぶと平行四辺形が \(1\) 個できる

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\(3\) 個のものから \(2\) 個を選ぶ組合せと \(5\) 個のものから \(2\) 個を選ぶ組合せの積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_3{\rm C}_2{\, \small \times \,}{}_5{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 2\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot \cancel{2}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&30\end{eqnarray}\)

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したがって、\(30\) 個となる