条件付き確率

\(100\) 人中

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　\(A\) のみに含まれる \(24\) 人
　\(B\) のみに含まれる \(28\) 人
　\(A\) にも \(B\) にも含まれる \(16\) 人

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であることより、

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　　\(\begin{array}{c|cc|c}
& A & \overline{A} & 計 \\[3pt]
\hline
B & 16人 & 28人 & \\[3pt]
\overline{B} & 24人 & & \\[3pt]
\hline
~計~ & x人 & & 100人
\end{array}\)

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これより、\(A\) に含まれる人は、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&16+24=40~\end{eqnarray}\) 人

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よって、\(A\) に含まれている人の中から \(1\) 人を選ぶとき、\(B\) にも含まれている確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_A(B)&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,40\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) となる

 
 

\(A\) に \(30\) %が含まれているので、事象 \(A\) の確率は、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}\)

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\(A\) にも \(B\) にも含まれるのが \(10\) %より、事象 \(A \cap B\) の確率は、

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　\(P(A \cap B)=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}\)

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よって、\(A\) の中から \(1\) 人を選ぶとき、\(B\) にも含まれている確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_A(B)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap B)\,}{\,P(A)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}100\,}{\,\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) である