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問題｜期待値と得であるかの判断
場合の数と確率 57赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、白玉の数だけ \(100\) 円玉をもらえるゲームがあり、参加料が \(100\) 円のとき、このゲームは得であるかの調べ方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
期待値と得であるかの判断
Point：期待値と得であるかの判断
① ゲームでもらえる金額を変量として、期待値を求める。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~X~ & 0 & 100 & 200 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(E(X)=\displaystyle \frac{\,0+600+200\,}{\,10\,}=80\)
② 参加料と期待値比較して、得であるか判断する。
参加料 \(100 \gt 80\) より、得でない。
期待値と得であるかの判断方法は、
① ゲームでもらえる金額を変量として、期待値を求める。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~X~ & 0 & 100 & 200 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(E(X)=\displaystyle \frac{\,0+600+200\,}{\,10\,}=80\)
② 参加料と期待値比較して、得であるか判断する。
参加料 \(100 \gt 80\) より、得でない。
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詳しい解説｜期待値と得であるかの判断
場合の数と確率 57
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、白玉の数だけ \(100\) 円玉をもらえるゲームがあり、参加料が \(100\) 円のとき、このゲームは得であるかの調べ方は？
高校数学A｜場合の数と確率
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個から \(2\) 個取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○\,○
\end{array}\)
すべての場合の数は、
\({}_5{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,2 {\, \small \times \,} 1\,}=10\) 通り
どの場合がそれぞれ同様に確からしい
\(\small [\,1\,]\) \(2\) 個とも赤玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow&
\\[-1pt]○\,○&
\end{array}\)
\({}_3{\rm C}_2={}_3{\rm C}_1=3\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(1\) 個が赤玉でもう \(1\) 個が白玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow&\downarrow
\\[-1pt]○&○
\end{array}\)
\({}_3{\rm C}_1 {\, \small \times \,} {}_2{\rm C}_1=3 {\, \small \times \,} 2=6\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)
\(\small [\,3\,]\) \(2\) 個とも白玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]&\downarrow
\\[-1pt]&○\,○
\end{array}\)
\({}_2{\rm C}_2=1\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
よって、白玉の数 \(\times 100\) 円を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~白玉~ & 0 & 1 & 2 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 100 & 200 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0 {\, \small \times \,} 3+100 {\, \small \times \,} 6+200 {\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,600+200\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,800\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&80\end{eqnarray}\)
これより、期待値は \(80\) 円であるが、参加料は \(100\) 円であるので、このゲームは得でない。
