このページは、「期待値と得であるかの判断」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
期待値と得であるかの判断 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) から \(5\) までの番号札が、それぞれ番号の数だけ用意されている。この中から \(1\) 枚を取り出すとき、次のどちらを選ぶ方が得といえるか。
① 出た番号と同じ枚数の \(100\) 円硬貨をもらう。
② \(5\) の番号が出たときだけ \(1000\) 円をもらう。
① 出た番号と同じ枚数の \(100\) 円硬貨をもらう。
② \(5\) の番号が出たときだけ \(1000\) 円をもらう。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.71 章末問題A 6
\(1\) から \(5\) までの番号札が、それぞれ番号の数だけ用意されているので、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{1}}\,|\,{\small \enclose{circle}{2}}\,{\small \enclose{circle}{2}}\,|\,{\small \enclose{circle}{3}}\,{\small \enclose{circle}{3}}\,{\small \enclose{circle}{3}}\,|\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,|\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○
\end{array}\)
すべての場合の数は、
\(1+2+3+4+5=15\) 枚
どの場合がそれぞれ同様に確からしい
番号 \(k\) の札が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,15\,}\) であるので、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
~番号~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
① 出た番号と同じ枚数の \(100\) 円硬貨をもらう場合
もらう金額を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
~X~ & 100 & 200 & 300 & 400 & 500 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,100 {\, \small \times \,} 1+200 {\, \small \times \,} 2+300 {\, \small \times \,} 3+400 {\, \small \times \,} 4+500 {\, \small \times \,} 5\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100+400+900+1600+2500\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5500\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1100\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100+400+900+1600+2500\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5500\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1100\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、①の期待値は \(\displaystyle \frac{\,1100\,}{\,3\,}\) 円
② \(5\) の番号が出たときだけ \(1000\) 円をもらう場合
もらう金額を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
~X~ & 0 & 1000 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,10\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0 {\, \small \times \,} 10+1000 {\, \small \times \,} 5\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5000\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、②の期待値は \(\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,3\,}\) 円
\(\displaystyle \frac{\,1100\,}{\,3\,} \gt \displaystyle \frac{\,1000\,}{\,3\,}\) であるので、
したがって、①を選ぶ方が得といえる。
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(1\) から \(5\) までの番号札が、それぞれ番号の数だけ用意されている。この中から \(1\) 枚を取り出すとき、次のどちらを選ぶ方が得といえるか。
① 出た番号と同じ枚数の \(10\) 円硬貨をもらう。
② \(5\) の番号が出たときだけ \(100\) 円をもらう。
① 出た番号と同じ枚数の \(10\) 円硬貨をもらう。
② \(5\) の番号が出たときだけ \(100\) 円をもらう。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.71 章末問題A 6
\(1\) から \(5\) までの番号札が、それぞれ番号の数だけ用意されているので、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{1}}\,|\,{\small \enclose{circle}{2}}\,{\small \enclose{circle}{2}}\,|\,{\small \enclose{circle}{3}}\,{\small \enclose{circle}{3}}\,{\small \enclose{circle}{3}}\,|\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,{\small \enclose{circle}{4}}\,|\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}\,{\small \enclose{circle}{5}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○
\end{array}\)
すべての場合の数は、
\(1+2+3+4+5=15\) 枚
どの場合がそれぞれ同様に確からしい
番号 \(k\) の札が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,15\,}\) であるので、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
~番号~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
① 出た番号と同じ枚数の \(100\) 円硬貨をもらう場合
もらう金額を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
~X~ & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,10 {\, \small \times \,} 1+20 {\, \small \times \,} 2+30 {\, \small \times \,} 3+40 {\, \small \times \,} 4+50 {\, \small \times \,} 5\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10+40+90+160+250\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,550\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,110\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10+40+90+160+250\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,550\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,110\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、①の期待値は \(\displaystyle \frac{\,110\,}{\,3\,}\) 円
② \(5\) の番号が出たときだけ \(100\) 円をもらう場合
もらう金額を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
~X~ & 0 & 100 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,10\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0 {\, \small \times \,} 10+100 {\, \small \times \,} 5\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,500\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、②の期待値は \(\displaystyle \frac{\,100\,}{\,3\,}\) 円
\(\displaystyle \frac{\,110\,}{\,3\,} \gt \displaystyle \frac{\,100\,}{\,3\,}\) であるので、
したがって、①を選ぶ方が得といえる。
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(500\) ポイントのコイン \(1\) 枚と \(100\) ポイントのコイン \(1\) 枚を同時に投げて、表が出たコインのポイントがもらえるというゲームに、参加料 \(400\) ポイントを使って参加するのは、得であるか、あるいは損であるか。ただし、もらえるポイントの期待値よりも参加料の方が高いとき損であると判断するものとする。
東京書籍｜Standard数学A[702] p.73 Training 26
\(500\) ポイントのコインと \(100\) ポイントのコインをそれぞれ \(1\) 枚ずつ同時に投げるとき、
それぞれの表裏の出方は、
\(\begin{array}{c|cccc}
~500~ & ○ & ○ & × & ×\\
\hline
~100~ & ○ & × & ○ & ×\\
\hline
~ポイント~&600&500&100&0
\end{array}\)
これより、全事象は、\(2 {\, \small \times \,} 2=4\) 通り
もらえるポイントを変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
~X~ & 0 & 100 & 500 & 600 & 計 \\[5pt]
\hline
~P~ & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0 {\, \small \times \,} 1+100 {\, \small \times \,} 1+500 {\, \small \times \,} 1+600 {\, \small \times \,} 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1200\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&300\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1200\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&300\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、期待値は \(300\) ポイントであるが、参加料は \(400\) ポイントであるので、
したがって、損である。
