- 数学A｜場合の数と確率「原因の確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜原因の確率
場合の数と確率 55ある製品の \(60\) %は \(A\) (不良品が \(2\) %)で作られて、残り \(40\) %は \(B\) (不良品が \(3\) %)で作られる、この製品を \(1\) 個取ったとき、不良品である確率の求め方は？また、不良品であったとき、\(A\) の製品である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
原因の確率
Point：原因の確率
\(\begin{eqnarray}P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(A \cap E)+P(B \cap E)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\,}\end{eqnarray}\)
事象 \(E\) が起こったとき、それが事象 \(A\) が起こったものである確率を原因の確率という。
\(\begin{eqnarray}P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(A \cap E)+P(B \cap E)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜原因の確率
場合の数と確率 55
ある製品の \(60\) %は \(A\) (不良品が \(2\) %)で作られて、残り \(40\) %は \(B\) (不良品が \(3\) %)で作られる、この製品を \(1\) 個取ったとき、不良品である確率の求め方は？また、不良品であったとき、\(A\) の製品である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
取り出した製品が \(A\) の工場で作る事象を \(A\)、\(B\) の工場で作る事象を \(B\)、不良品の事象を \(E\)とすると、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}\)
\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}~,~P_B(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\)
取り出した製品が不良品である確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120+120\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,240\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,125\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,125\,}\) となる
不良品であったとき \(A\) の製品である確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,120+120\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,240\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
