原因の確率

数研出版｜数学A[712] p.79 演習問題B 11
数研出版｜数学A[104-901] p.79 演習問題B 11

最初に取り出した玉が赤玉である事象を \(A\)、白玉である事象を \(B\)、\(2\) 番目に取り出した玉が赤玉である事象を \(E\)とすると、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}\)

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　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}~,~P_B(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\)

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\(2\) 番目に取り出した玉が赤玉である確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6+21\,}{\,90\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,90\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)

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よって、\(P(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

 
 

\(2\) 番目に取り出した玉が赤玉であったとき、最初に取り出した玉も赤玉である確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,6+21\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)

数研出版｜高等学校数学A[713] p.72 章末問題B 12

箱 \({\rm C}\) から赤玉を取り出す事象を \(E\)とすると、

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箱 \({\rm C}\) に赤玉が入る場合は、

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　\({\small [\,1\,]}\) \({\rm A}\) から赤玉、\({\rm B}\) から赤玉
　\({\small [\,2\,]}\) \({\rm A}\) から赤玉、\({\rm B}\) から白玉
　\({\small [\,3\,]}\) \({\rm A}\) から白玉、\({\rm B}\) から赤玉

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この \(3\) つの場合がある

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\({\small [\,1\,]}\) \({\rm A}\) から赤玉、\({\rm B}\) から赤玉のとき

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箱 \({\rm C}\) に赤玉 \(2\) 個が入り、\({\rm C}\) から赤玉を引く確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\)

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そのうち \({\rm A}\) 由来の赤玉を引く確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,70\,}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \({\rm A}\) から赤玉、\({\rm B}\) から白玉のとき

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箱 \({\rm C}\) に赤玉 \(1\) 個 白玉 \(1\) 個が入り、\({\rm C}\) から \({\rm A}\) 由来の赤玉を引く確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,70\,}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \({\rm A}\) から白玉、\({\rm B}\) から赤玉のとき

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箱 \({\rm C}\) に赤玉 \(1\) 個 白玉 \(1\) 個が入り、\({\rm C}\) から \({\rm B}\) 由来の赤玉を引く確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,70\,}\)

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箱 \({\rm C}\) から赤玉を取り出す確率は、

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\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) は互いに排反であるので和事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,70\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,70\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,70\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,35\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)

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箱 \({\rm C}\) から取り出した赤玉が \({\rm A}\) から取り出した赤玉である確率は、

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が \({\rm A}\) 由来の赤玉であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,70\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,70\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,18\,}{\,35\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,21\,}{\,70\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,18\,}{\,35\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,70\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,35\,}{\,18\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21 \times 35\,}{\,70 \times 18\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,735\,}{\,1260\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\)

数研出版｜新編数学A[711] p.65 章末問題B 13

硬貨が表である事象を \(A\)、裏である事象を \(B\)、赤玉を取り出す事象を \(E\)とすると、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}~,~P_B(E)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}\)

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赤玉を取り出す確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,20\,}\end{eqnarray}\)

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よって、\(P(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,20\,}\)
 
 
赤玉が出たとき、投げた硬貨が裏であった確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(B)&=&\displaystyle \frac{\,P(B \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(B) \cdot P_B(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.60 問題 17
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.60 問題 19

\({\small (1)}~\)

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箱 \({\rm A}\) を選ぶ事象を \(A\)、箱 \({\rm B}\) を選ぶ事象を \(B\)、当たりくじを引く事象を \(E\)とすると、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}~,~P_B(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

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当たりくじを引く確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+3\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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当たりくじを引いたとき、それが箱 \({\rm A}\) の当たりくじである確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5+3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)

 
 

\({\small (2)}~\)

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\({\small (1)}\) より、\(1\) 人目が箱 \({\rm A}\) から当たりを引いた確率は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)、箱 \({\rm B}\) から当たりを引いた確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\)

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\(1\) 人目と同じ箱からくじを引く場合

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\(1\) 人目が箱 \({\rm A}\) から当たりを引いた場合、箱 \({\rm A}\) の残りは当たり \(4\) 本、はずれ \(5\) 本の計 \(9\) 本

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\(1\) 人目が箱 \({\rm B}\) から当たりを引いた場合、箱 \({\rm B}\) の残りは当たり \(2\) 本、はずれ \(7\) 本の計 \(9\) 本

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}&=&\displaystyle \frac{\,20+6\,}{\,72\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,26\,}{\,72\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13\,}{\,36\,}\end{eqnarray}\)

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\(1\) 人目と異なる箱からくじを引く場合

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\(1\) 人目が箱 \({\rm A}\) から引いた場合、\(2\) 人目は箱 \({\rm B}\) から引くので当たり \(3\) 本、はずれ \(7\) 本の計 \(10\) 本

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\(1\) 人目が箱 \({\rm B}\) から引いた場合、\(2\) 人目は箱 \({\rm A}\) から引くので当たり \(5\) 本、はずれ \(5\) 本の計 \(10\) 本

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}&=&\displaystyle \frac{\,15+15\,}{\,80\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,80\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \frac{\,13\,}{\,36\,}\) と \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) を比較すると、

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\(\displaystyle \frac{\,13\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,26\,}{\,72\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,27\,}{\,72\,}\)

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\(\displaystyle \frac{\,26\,}{\,72\,} \lt \displaystyle \frac{\,27\,}{\,72\,}\) より、

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したがって、\(1\) 人目と異なる箱からくじを引く場合のほうが当たる確率が大きい

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.63 練習問題B 11
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.63 練習問題B 12

製品が不良品である事象を \(A\)、良品である事象を \(B\)、品質検査で不良品と判定される事象を \(E\)とすると、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,97\,}{\,100\,}\)

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不良品を不良品と正しく判定する確率は、

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　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}\)

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良品を不良品と誤って判定する確率は、

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　\(P_B(E)=1-\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\)

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\({\small (1)}~\)

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この製品が品質検査で不良品と判定される確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,97\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,297+97\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,394\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,197\,}{\,5000\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,197\,}{\,5000\,}\)
 
 
\({\small (2)}~\)

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不良品と判定された製品が本当に不良品である確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,97\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,297\,}{\,297+97\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,297\,}{\,394\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,297\,}{\,394\,}\)

東京書籍｜Standard数学A[702] p.69 Challenge 問1
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.57 Challenge 問1

取り出した検体にこの病原菌がいる事象を \(A\)、この検査法で陰性と判定される事象を \(E\)とすると、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}~,~P(\overline{A})=\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}\)

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病原菌がいるのに陰性と判定される確率は、

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　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\)

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病原菌がいなくて正しく陰性と判定される確率は、

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　\(P_{\overline{A}}(E)=1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}=\displaystyle \frac{\,98\,}{\,100\,}\)

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陰性と判定される確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(\overline{A} \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,98\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+9702\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9703\,}{\,10000\,}\end{eqnarray}\)

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陰性と判定されたときに、実際には病原菌がいる確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,98\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+9702\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9703\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9703\,}\)

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.63 練習問題B 14

家 \({\rm A}\) に忘れる事象を \(A\)、家 \({\rm B}\) に忘れる事象を \(B\)、家 \({\rm C}\) に忘れる事象を \(C\)、帽子を忘れてくる事象を \(E\)とすると、

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各家で帽子を忘れる確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)、忘れない確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)

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家 \({\rm A}\) に忘れる確率は、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)

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家 \({\rm B}\) に忘れる確率は、\({\rm A}\) で忘れず \({\rm B}\) で忘れるので、

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　\(P(B)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}\)

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家 \({\rm C}\) に忘れる確率は、\({\rm A}\) で忘れず \({\rm B}\) でも忘れず \({\rm C}\) で忘れるので、

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　\(P(C)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,125\,}\)

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帽子を忘れてくる確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A)+P(B)+P(C)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,125\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,125\,}+\displaystyle \frac{\,20\,}{\,125\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,125\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,61\,}{\,125\,}\end{eqnarray}\)

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帽子を忘れてきたとき、家 \({\rm B}\) に忘れてきた確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_E(B)&=&\displaystyle \frac{\,P(B)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,61\,}{\,125\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,125\,}{\,61\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \times 125\,}{\,25 \times 61\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,500\,}{\,1525\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,61\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,20\,}{\,61\,}\)