くじ引き・組合せと確率

赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個の合計 \(5\) 個の玉より同時に \(3\) 個を取り出すとき、

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　\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○\,○\,○
\end{array}\)

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すべての場合の数は \({}_5 {\rm C}_3\) 通りで、どの組も同様に確からしい

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_5 {\rm C}_3&=&{}_5 {\rm C}_2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)

 
 

赤玉 \(2\) 個と白玉 \(1\) 個を取り出す確率は、

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　\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow && \downarrow
\\[-1pt]○○ & & ○
\end{array}\)

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　赤玉 \(3\) 個から \(2\) 個取り出す組合せ \({}_3 {\rm C}_2\)

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　白玉 \(2\) 個から \(1\) 個取り出す組合せ \({}_2 {\rm C}_1\)

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これらは、同時に起こるので、積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 {\rm C}_2{\, \small \times \,}{}_2 {\rm C}_1&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 2\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot \cancel{2}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

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したがって、確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

 
 

すべて赤玉を取り出す確率は、

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　\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow &&
\\[-1pt]○○○ & &
\end{array}\)

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赤玉 \(3\) 個から \(3\) 個取り出す組合せは、

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　\({}_3 {\rm C}_3=1\)

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したがって、確率は　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)