共通部分・和集合・補集合の要素の個数

\(100\) 以下の自然数の全体の集合を \(U\)とすると、

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　\(n(U)=100~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数は、

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　\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~\cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)

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これより、\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 50\) までの \(50\) 個あるので、

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　\(n(A)=50~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(3\) の倍数の集合 \(B\) の要素の個数は、

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　\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~\cdots~,~3 \cdot 33\,\}\)

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これより、\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個あるので、

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　\(n(B)=33~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)

 
 

\(2\) でも \(3\) でも割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数、つまり \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\) であるので、

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　\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~\cdots~,~6 \cdot 16\,\}\)

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これより、\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個あるので、

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　\(n(A \cap B)=16~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)

 
 

次に、\(2\) と \(3\) の少なくとも一方で割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数、つまり和集合 \(A \cup B\) であるので、

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よって、\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,3\,]}~,~\)\({\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&50+33-16\\[3pt]~~~&=&67\end{eqnarray}\)

 
 

また、\(3\) の倍数でない集合の要素の個数は、集合 \(B\) の補集合の要素の個数であるので、

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よって、\({\small [\,1\,]}\) より \(n(U)=100\)、\({\small [\,3\,]}\) より \(n(B)=33\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~n(\overline{B})&=&n(U)-n(B)\\[3pt]~~~&=&100-33\\[3pt]~~~&=&67\end{eqnarray}\)