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問題｜隣り合う・両端にくる・交互に並ぶ順列
場合の数と確率 12大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合うor両端にくる並び方は何通りか？また、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
隣り合う・両端にくる・交互に並ぶ順列
Point：隣り合う・両端にくる・交互に並ぶ順列
① 隣り合う人を1つのグループにして、残りの人と合わせた順列を求める。
子ども \(2\) 人のグループと大人 \(3\) 人の \(4\) つのものの順列として考える。
\(4!=24\) 通り
② そのおのおのについて、グループの中の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
子ども \(2\) 人の入れ替わりを考えて、
\(24{\, \small \times \,}2!=48\) 通り
① 両端にくる人の並べ方を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & \uparrow
\\[-1pt]2通り & & & & 1通り
\end{array}\)
② そのおのおのについて、間に入る人の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & 2通り & 1通り &
\end{array}\)
\(2!{\, \small \times \,}3!=12\) 通り
① 人数の多い方を先に並べる順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
② そのおのおのについて、間に入る人の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow && \uparrow &
\\[-1pt]& 2通り && 1通り &
\end{array}\)
\(3!{\, \small \times \,}2!=12\) 通り
■ 特定の人が隣り合う順列
① 隣り合う人を1つのグループにして、残りの人と合わせた順列を求める。
子ども \(2\) 人のグループと大人 \(3\) 人の \(4\) つのものの順列として考える。
\(4!=24\) 通り
② そのおのおのについて、グループの中の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
子ども \(2\) 人の入れ替わりを考えて、
\(24{\, \small \times \,}2!=48\) 通り
■ 特定の人が両端にくる順列
① 両端にくる人の並べ方を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & \uparrow
\\[-1pt]2通り & & & & 1通り
\end{array}\)
② そのおのおのについて、間に入る人の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & 2通り & 1通り &
\end{array}\)
\(2!{\, \small \times \,}3!=12\) 通り
■ 交互に並ぶ順列
① 人数の多い方を先に並べる順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
② そのおのおのについて、間に入る人の並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow && \uparrow &
\\[-1pt]& 2通り && 1通り &
\end{array}\)
\(3!{\, \small \times \,}2!=12\) 通り
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詳しい解説｜隣り合う・両端にくる・交互に並ぶ順列
場合の数と確率 12
大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合うor両端にくる並び方は何通りか？また、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
子ども \(2\) 人を \(1\) つのグループと考えて、大人 \(3\) 人とこのグループの \(4\) つの順列は、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=24\) 通り
そのおのおのについて、このグループの中の子どもを並べるのが \(2!\) 通りあるので、積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&24 {\small \times} 2!
\\[3pt]~~~&=&24 {\small \times} 2
\\[3pt]~~~&=&48\end{eqnarray}\)
したがって、\(48\) 通りとなる
子ども \(2\) 人を両端に並べるので、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & \uparrow
\\[-1pt]2通り & & & & 1通り
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 1=2\) 通り
そのおのおのについて、間の②〜④へ大人 \(3\) 人の並べ方は、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & 2通り & 1通り &
\end{array}\)
\(3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=6\) 通り
よって、積の法則より、
\(2 {\small \times} 6=12\) 通り
したがって、\(12\) 通りとなる
大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を大人と子どもが交互に並べるので、
人数の多い大人 \(3\) 人を先に①、③、⑤に並べると、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
\(3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=6\) 通り
そのおのおのについて、②と④への子どもの並べ方は、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 2通り && 1通り &
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 1=2\) 通り
よって、積の法則より、
\(6 {\small \times} 2=12\) 通り
したがって、\(12\) 通りとなる
