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問題｜排反事象と確率の加法定理
場合の数と確率 39赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？また、赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個、青玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
排反事象と確率の加法定理
Point：排反事象と確率の加法定理
和事象 \(A \cup B\) の確率は、確率の加法定理より、
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)
また、\(3\) つの事象 \(A~,~B~,~C\) が互いに排反であるときも同様に計算できる。
\(2\) つの事象 \(A~,~B\) が互いに排反のとき、
和事象 \(A \cup B\) の確率は、確率の加法定理より、
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)
※ \(A \cap B=\varnothing\) より、\(P(A \cap B)=0\) である。
また、\(3\) つの事象 \(A~,~B~,~C\) が互いに排反であるときも同様に計算できる。
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詳しい解説｜排反事象と確率の加法定理
場合の数と確率 39
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？また、赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個、青玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個の合計 \(5\) 個の玉より、同時に \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○\,○
\end{array}\)
すべての場合の数は \({}_5 {\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}~~~{}_5 {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
同じ色の玉を取り出すのは、
\(A\)：赤玉 \(2\) 個のとき
\(B\)：白玉 \(2\) 個のとき
の \(2\) つの事象に分けられる
\(A\) の赤玉 \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow &&
\\[-1pt]○○ & &
\end{array}\)
\({}_3 {\rm C}_2={}_3 {\rm C}_1=3\) 通り
よって、確率は
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(B\) の白玉 \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]&& \downarrow
\\[-1pt]& & ○○
\end{array}\)
\({}_2 {\rm C}_2=1\) 通り
よって、確率は
\(P(B)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
\(A\) と \(B\) は互いに排反であるので、和事象は確率の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) となる
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個、青玉 \(2\) 個の合計 \(7\) 個の玉より、同時に \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,\enclose{circle}{青}\,\enclose{circle}{青}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○\,○
\end{array}\)
すべての場合の数は \({}_7 {\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}~~~{}_7 {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
同じ色の玉を取り出すのは、
\(A\)：赤玉 \(2\) 個のとき
\(B\)：白玉 \(2\) 個のとき
\(C\)：青玉 \(2\) 個のとき
の \(3\) つの事象に分けられる
\(A\) の赤玉 \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\enclose{circle}{青}\,\enclose{circle}{青}
\\[-1pt]\downarrow &&
\\[-1pt]○○ & &
\end{array}\)
\({}_3 {\rm C}_2={}_3 {\rm C}_1=3\) 通り
よって、確率は
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,21\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\)
\(B\) の白玉 \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}& | &\enclose{circle}{青}\,\enclose{circle}{青}
\\[-1pt]&& \downarrow &&
\\[-1pt]& & ○○ & &
\end{array}\)
\({}_2 {\rm C}_2=1\) 通り
よって、確率は
\(P(B)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}\)
\(C\) の青玉 \(2\) 個を取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}& | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}& | &\enclose{circle}{青}\,\enclose{circle}{青}
\\[-1pt]&&&& \downarrow
\\[-1pt]& & & & ○○
\end{array}\)
\({}_2 {\rm C}_2=1\) 通り
よって、確率は
\(P(C)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}\)
\(A~,~B~,~C\) はそれぞれ互いに排反であるので、確率の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A \cup B \cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,21\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,21\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,21\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,21\,}\) となる
