- 数学A｜場合の数と確率「先にn勝で優勝する反復試行の確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜先にn勝で優勝する反復試行の確率
場合の数と確率 48\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が試合をして \({\rm A}\) が勝つ確率が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、先に \(3\) 勝した方が優勝するとき、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？また、\({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
先にn勝で優勝する反復試行の確率
Point：先にn勝で優勝する反復試行の確率
① \({\rm A}\) が勝つ確率と負ける確率を求める。
② \(4\) 試合目に優勝するとは、\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(1\) 敗となり、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つことである。
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目は反復試行の確率で、\(4\) 試合目は \({\rm A}\) が勝つので、
\({}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
※ \(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目までに \({\rm A}\) が勝つと、\(3\) 試合目で \({\rm A}\) の優勝が決まってしまう。
先に \(3\) 勝した方が優勝するとき、\(4\) 試合目で優勝する場合は、
① \({\rm A}\) が勝つ確率と負ける確率を求める。
② \(4\) 試合目に優勝するとは、\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(1\) 敗となり、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つことである。
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目は反復試行の確率で、\(4\) 試合目は \({\rm A}\) が勝つので、
\({}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
※ \(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目までに \({\rm A}\) が勝つと、\(3\) 試合目で \({\rm A}\) の優勝が決まってしまう。
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詳しい解説｜先にn勝で優勝する反復試行の確率
場合の数と確率 48
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が試合をして \({\rm A}\) が勝つ確率が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、先に \(3\) 勝した方が優勝するとき、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？また、\({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(1\) 試合で \({\rm A}\) が勝つ確率は、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
これより、\({\rm A}\) が負ける確率は、
\(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(1\) 敗となり、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜③は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&{}_3{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{3} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^{\cancel{4}3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\) となる
次に、\(3\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm A} & {\rm A} & {\rm A}
\end{array}\)
すべて \({\rm A}\) が勝つので、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、\(5\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}2 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(4\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(2\) 敗となり、\(5\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cancel{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}&=&\displaystyle \frac{\,24+24+16\,}{\,81\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,81\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,81\,}\) となる
