立方体の6面の塗り分け

立方体の \(6\) 色の塗り分け方は、

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上の面を特定の色で塗り固定すると、下の面の塗り方は、残りの \(5\) 色の中から \(1\) 色を用いるので、

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　\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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側面の \(4\) か所は、回転すると一致するので、\(1\) つを固定する円順列と考えて、

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\(\begin{eqnarray}~~~(4-1)!&=&3!\\[3pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、

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　\(5{\, \small \times \,}6=30\)

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したがって、\(30\) 通りである

 
 

立方体の \(5\) 色の塗り分け方は、

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隣り合う面は同じ色に塗らないので、向い合う \(2\) か所を同じ色で塗ると、

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この塗り方は、\(5\) 色から \(1\) 色を選ぶので、

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　\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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側面の \(4\) か所は、回転すると一致して、さらに表裏があるのでじゅず順列として考えて、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(4-1)!\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,3!\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、

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　\(5{\, \small \times \,}3=15\)

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したがって、\(15\) 通りである