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問題｜正の約数の個数とその総和
場合の数と確率 09\(72\) の正の約数の個数とその総和の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
正の約数の個数とその総和
Point：正の約数の個数とその総和
① 素因数分解し、因数を調べる。
\(72=2^3{\, \small \times \,}3^2\)
② 正の約数の個数は、それぞれの因数の正の約数の組合せの積の法則より。
\(2^3\) の正の約数は、\(4\) 通り
\(3^2\) の正の約数は、\(3\) 通り
積の法則より、\(4{\, \small \times \,}3=12\) 個
③ 正の約数の総和は、展開式が正の約数と等しくなることを利用して計算する。
正の約数の組合せの表は、
\(\begin{array}{c|cccc}
& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\
\hline
3^0 & 1 & 2 & 4 & 8 \\
3^1 & 3 & 6 & 12 & 24 \\
3^2 & 9 & 18 & 36 & 72
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+3+9)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 13\\[3pt]~~~&=&195\end{eqnarray}\)
正の約数の個数とその総和は、
① 素因数分解し、因数を調べる。
\(72=2^3{\, \small \times \,}3^2\)
② 正の約数の個数は、それぞれの因数の正の約数の組合せの積の法則より。
\(2^3\) の正の約数は、\(4\) 通り
\(3^2\) の正の約数は、\(3\) 通り
積の法則より、\(4{\, \small \times \,}3=12\) 個
③ 正の約数の総和は、展開式が正の約数と等しくなることを利用して計算する。
正の約数の組合せの表は、
\(\begin{array}{c|cccc}
& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\
\hline
3^0 & 1 & 2 & 4 & 8 \\
3^1 & 3 & 6 & 12 & 24 \\
3^2 & 9 & 18 & 36 & 72
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+3+9)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 13\\[3pt]~~~&=&195\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜正の約数の個数とその総和
場合の数と確率 09
\(72\) の正の約数の個数とその総和の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(72\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}
2~)~~72~\\[-3pt]
2~)\overline{~~36~}\\[-3pt]
2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]
3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]
\overline{~~~3~~}
\end{array}\)
よって、\(72=2^3{\, \small \times \,}3^2\)
ここで、\(72\) の正の約数は、\(2^3\) の正の約数と \(3^2\) の正の約数の組合せの積であるので、
\(2^3\) の正の約数は、
\(2^0~,~2^1~,~2^2~,~2^3\) の \(4\) 通り
\(3^2\) の正の約数は、
\(3^0~,~3^1~,~3^2\) の \(3\) 通り
よって、同時に起こる（連続して起こる）ので積の法則より、
\(4{\, \small \times \,}3=12\) 個
また、\(72\) の約数の総和は、
\(\begin{array}{c|cccc}
& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\
\hline
3^0 & 1 & 2 & 4 & 8 \\
3^1 & 3 & 6 & 12 & 24 \\
3^2 & 9 & 18 & 36 & 72
\end{array}\)
この表の中の数の和が約数の総和であり、次の展開式と等しくなる
よって、この展開式のかっこの中を先に計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+3+9)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 13\\[3pt]~~~&=&195\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の個数は \(12\) 個、その総和は \(195\) となる
