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問題｜順列と総数Pの計算
場合の数と確率 10\(_{5}{\rm P}_{3}~,~\)\(_{6}{\rm P}_{4}~,~\)\(_{5}{\rm P}_{5}\) の計算方法は？また、\(7\) 人から \(3\) 人を選んで一列に並べる場合の数の求め方は？さらに、生徒 \(8\) 人からリレーの第 \(1\) 走者から第 \(4\) 走者までを決める場合の数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
順列と総数Pの計算
Point：順列と総数Pの計算
\(7\) 人から \(3\) 人を選んで一列に並べる場合の数は、
① 並べる個数だけ枠をつくる。
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\end{array}\)
② 左から順に枠に入れる場合の数を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り
\end{array}\)
\(7 {\small \times} 6 {\small \times} 5=210\) 通り
\(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで並べると、
\(_{n}{\rm P}_{r}=n(n-1) \cdots (n-r+1)\)
※ \(n\) から1ずつ引いた \(r\) 個の数の積。
選んで並べる順列は、
\(7\) 人から \(3\) 人を選んで一列に並べる場合の数は、
① 並べる個数だけ枠をつくる。
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\end{array}\)
② 左から順に枠に入れる場合の数を考えて、積の法則より順列を求める。
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り
\end{array}\)
\(7 {\small \times} 6 {\small \times} 5=210\) 通り
■ 順列の総数の記号 \({\rm P}\)
\(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで並べると、
\(_{n}{\rm P}_{r}=n(n-1) \cdots (n-r+1)\)
※ \(n\) から1ずつ引いた \(r\) 個の数の積。
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詳しい解説｜順列と総数Pの計算
場合の数と確率 10
\(_{5}{\rm P}_{3}~,~\)\(_{6}{\rm P}_{4}~,~\)\(_{5}{\rm P}_{5}\) の計算方法は？また、\(7\) 人から \(3\) 人を選んで一列に並べる場合の数の求め方は？さらに、生徒 \(8\) 人からリレーの第 \(1\) 走者から第 \(4\) 走者までを決める場合の数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(_{5}{\rm P}_{3}\) は異なる \(5\) つのものから \(3\) つを選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~_{5}{\rm P}_{3}&=&5 {\small \times} 4 {\small \times} 3
\\[3pt]~~~&=&60\end{eqnarray}\)
\(_{6}{\rm P}_{4}\) は異なる \(6\) つのものから \(4\) つを選んで並べるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]6通り & 5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~_{6}{\rm P}_{4}&=&6 {\small \times} 5 {\small \times} 4 {\small \times} 3
\\[3pt]~~~&=&360\end{eqnarray}\)
\(_{5}{\rm P}_{5}\) は異なる \(5\) つのものから \(5\) つを選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~_{5}{\rm P}_{5}&=&5 {\small \times} 4 {\small \times} 3 {\small \times} 2 {\small \times} 1
\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)
\(7\) 人から \(3\) 人を選んで並べるので、\(3\) つの枠をつくり左から順に入れる場合の数を考えて、
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&7 {\small \times} 6 {\small \times} 5
\\[3pt]~~~&=&210\end{eqnarray}\)
したがって、\(210\) 通り
※ 記号で表すと \({}_{7}{\rm P}_{3}\)
\(8\) 人から \(4\) 人を選んで一列に並べることと同じなので、\(4\) つの枠をつくり左から順に入れる場合の数を考えて、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]8通り & 7通り & 6通り & 5通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&8 {\small \times} 7 {\small \times} 6 {\small \times} 5
\\[3pt]~~~&=&1680\end{eqnarray}\)
したがって、\(1680\) 通り
※ 記号で表すと \({}_{8}{\rm P}_{4}\)
