- 数学A｜場合の数と確率「重複順列と整数の個数・順番」の基本例題解説ページです。
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問題｜重複順列と整数の個数・順番
場合の数と確率 22☆\(5\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を重複を許して使ってできる、\(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数の個数は？また、\(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(200\) 以上となるのは何番目からか？さらに、\(42\) 番目の数は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
重複順列と整数の個数・順番
Point：重複順列と整数の個数
すべての位で \(5\) つの数字を用いる重複順列として計算できる。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 5通り
\end{array}\)
\(5^3=125\) 個
■ 場合分けを用いる解法
① \(1\) 桁、\(2\) 桁、\(3\) 桁の整数の個数を重複順列よりそれぞれ求める。
※ \(2\) 桁以上の最高位には \(0\) が入らないことに注意！
② 和の法則より、整数の個数を求める。
※ 同時に起こらないので和の法則を用いる。
数字の重複順列で \(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数の個数は、\(001\) は \(1\) 桁の \(1\)、\(010\) は \(2\) 桁の \(10\) などと考えると、
すべての位で \(5\) つの数字を用いる重複順列として計算できる。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 5通り
\end{array}\)
\(5^3=125\) 個
■ 場合分けを用いる解法
① \(1\) 桁、\(2\) 桁、\(3\) 桁の整数の個数を重複順列よりそれぞれ求める。
※ \(2\) 桁以上の最高位には \(0\) が入らないことに注意！
② 和の法則より、整数の個数を求める。
※ 同時に起こらないので和の法則を用いる。
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Point：重複順列と整数の順番
① 百の位が \(1\) になるときの整数の個数を重複順列で求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]1 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 5通り
\end{array}\)
\(100\) ～ \(144\) まで \(25\) 個
② 百の位が \(2\) 、十の位が \(0\) のとき、整数の個数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]2 & 0 & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & \uparrow
\\[-1pt]& & 5通り
\end{array}\)
\(200\) ～ \(204\) まで \(5\) 個
③ これを繰り返して、目的の整数が何個目か数える。
数字の重複順列で \(3\) 桁の整数を小さい順に数える方法は、
① 百の位が \(1\) になるときの整数の個数を重複順列で求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]1 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 5通り
\end{array}\)
\(100\) ～ \(144\) まで \(25\) 個
② 百の位が \(2\) 、十の位が \(0\) のとき、整数の個数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]2 & 0 & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & \uparrow
\\[-1pt]& & 5通り
\end{array}\)
\(200\) ～ \(204\) まで \(5\) 個
③ これを繰り返して、目的の整数が何個目か数える。
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詳しい解説｜重複順列と整数の個数・順番
場合の数と確率 22☆
\(5\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を重複を許して使ってできる、\(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数の個数は？また、\(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(200\) 以上となるのは何番目からか？さらに、\(42\) 番目の数は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(001\) は \(1\) 桁の \(1\)、\(010\) は \(2\) 桁の \(10\) などと考えると、
\(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数は、\(000\) ～ \(444\) までの数字の順列とすることができるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 5通り
\end{array}\)
すべての位で \(5\) 通りの重複順列となるので、
\(5^3=125\)
したがって、\(125\) 個
【別解】
\(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数は、\(1\) 桁、\(2\) 桁、\(3\) 桁に場合分けをして考えると、
\(1\) 桁の整数は、
\(\begin{array}{c}
一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow
\\[-1pt]5通り
\end{array}\)
よって、\(5\) 通り
\(2\) 桁の整数は、
\(\begin{array}{cc}
十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 5通り
\end{array}\)
十の位に \(0\) が入らないので、
\(4{\, \small \times \,}5=20\) 通り
\(3\) 桁の整数は、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 5通り & 5通り
\end{array}\)
百の位に \(0\) が入らないので、
\(4{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}5=100\) 通り
よって、これらは同時に起こらないので、和の法則より、
\(5+20+100=125\)
したがって、\(125\) 個
\(3\) 桁の整数で百の位が \(1\) のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]1 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 5通り
\end{array}\)
よって、\(100\) ～ \(144\) まで \(5{\, \small \times \,}5=25\) 個
したがって、\(200\) は \(25+1=26\) 番目である
百の位が \(2\) で始まる \(3\) 桁の整数は \(200\) ～ \(244\) まで \(25\) 個あるので、\(42\) 番目の百の位は \(2\) である
百の位が \(2\) 、十の位が \(0\) の整数は、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]2 & 0 & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & \uparrow
\\[-1pt]& & 5通り
\end{array}\)
よって、\(200\) ～ \(204\) の \(5\) 個
同様に考えて、
\(210\) ～ \(214\) の \(5\) 個
\(220\) ～ \(224\) の \(5\) 個
これより、\(224\) は、\(25+5+5+5=40\) 番目
よって、
\(40\) 番目 \(224\)
\(41\) 番目 \(230\)
\(42\) 番目 \(231\)
したがって、\(42\) 番目は \(231\) である
