- 数学A｜場合の数と確率「確率の乗法定理と和事象」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜確率の乗法定理と和事象
場合の数と確率 53\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(B\) が当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)また、袋 \(A\) に赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋 \(B\) に赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、袋 \(A\) から \(1\) 個を袋 \(B\) に入れて、袋 \(B\) から \(1\) 個を袋 \(A\) に戻すとき、袋 \(A\) の赤玉の個数が変わらない確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
確率の乗法定理と和事象
Point：確率の乗法定理と和事象
① \(A\) が当たり \(B\) も当たる場合と \(A\) がはずれ \(B\) が当たる確率をそれぞれ求める。
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり \(B\) も当たる
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ \(B\) が当たる
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}\)
② 互いに排反であることより、和事象の確率を求める。
\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}+\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(A\) と \(B\) が順番にくじを引くとき、\(B\) が当たる確率は、
① \(A\) が当たり \(B\) も当たる場合と \(A\) がはずれ \(B\) が当たる確率をそれぞれ求める。
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり \(B\) も当たる
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ \(B\) が当たる
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}\)
② 互いに排反であることより、和事象の確率を求める。
\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}+\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜確率の乗法定理と和事象
場合の数と確率 53
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(B\) が当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)また、袋 \(A\) に赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋 \(B\) に赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、袋 \(A\) から \(1\) 個を袋 \(B\) に入れて、袋 \(B\) から \(1\) 個を袋 \(A\) に戻すとき、袋 \(A\) の赤玉の個数が変わらない確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(B\) が当たる事象は、
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり、\(B\) も当たる
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ、\(B\) が当たる
この \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり、\(B\) も当たる場合
\(A\) は \(10\) 本中 当たりの \(3\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(B\) は \(9\) 本中 当たりの \(2\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
互いに独立であるので、乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ \(B\) が当たる場合
\(A\) は \(10\) 本中 はずれの \(7\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}\)
\(B\) は \(9\) 本中 当たりの \(3\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\)
互いに独立であるので、乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}+\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,30\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\) となる
くじ引きでは、
\(A\) が当たる確率 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(B\) が当たる確率 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
どちらも確率が等しいので、当たる確率と引く順番は関係がない。
袋 \(A\) の赤玉の個数が変わらない事象は、
\(\small [\,1\,]\) 袋 \(A\) が赤玉、袋 \(B\) も赤玉
\(\small [\,2\,]\) 袋 \(A\) が白玉、袋 \(B\) も白玉
この \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) 袋 \(A\) が赤玉、袋 \(B\) も赤玉の場合
袋 \(A\) 赤 \(\times 3\)、白 \(\times 2\) より \(5\) 個 赤玉より、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
袋 \(B\) 赤 \(\times 5\)、白 \(\times 3\) より \(8\) 個 赤玉より、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)
互いに独立であるので、乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,40\,}\)
\(\small [\,2\,]\) 袋 \(A\) が白玉、袋 \(B\) も白玉の場合
袋 \(A\) 赤 \(\times 3\)、白 \(\times 2\) より \(5\) 個 白玉より、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
袋 \(B\) 赤 \(\times 4\)、白 \(\times 4\) より \(8\) 個 白玉より、\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,8\,}\)
互いに独立であるので、乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,40\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\displaystyle \frac{\,15\,}{\,40\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,40\,}=\displaystyle \frac{\,23\,}{\,40\,}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,23\,}{\,40\,}\) となる
