反復試行の確率と和事象

\(1\) 回の試行で白玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、

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\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}} & | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]&& \downarrow
\\[-1pt]& & {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\)

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これより、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)

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また、白玉を取り出さない事象 \(\overline{A}\) の確率は、

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　\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,5-2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)

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ここで、\(4\) 回中 \(3\) 回以上白玉が出るのは、

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　\(\small [\,1\,]\) \(4\) 回とも白玉
　\(\small [\,2\,]\) \(3\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉

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の \(2\) つの場合がある

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\(\small [\,1\,]\) \(4\) 回とも白玉のとき、

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各回の試行は互いに独立であるので、

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　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,5^4\,}\)

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\(\small [\,2\,]\) \(3\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉のとき、

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　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,回 & Aが\,3\,回 & \overline{A}が\,1\,回 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)

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反復試行の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_4{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^1&=&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,5^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,2^3 \cdot 3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2^3 \cdot 3\,}{\,5^4\,}\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]\)と\(\small [\,2\,]\)は互いに排反であるので、和事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,5^4\,}+\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2^3 \cdot 3\,}{\,5^4\,}&=&\displaystyle \frac{\,16+96\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,112\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,112\,}{\,625\,}\) となる

 
 

「少なくとも \(2\) 回は白玉が出る」の余事象は「白玉が出ない、または白玉が \(1\) 回」となる

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\(\small [\,1\,]\) 白玉が \(0\) 回のとき、

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すべて赤玉となるので、

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,5^4\,}\)

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\(\small [\,2\,]\) 白玉が \(1\) 回のとき、

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　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,3\,回 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)

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反復試行の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^3&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3^3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2 \cdot 3^3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 27\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,216\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]\)と\(\small [\,2\,]\)は互いに排反であるので、和事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,5^4\,}+\displaystyle \frac{\,216\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,81+216\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,297\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

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よって、少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率は、余事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,297\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,625-297\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,328\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,328\,}{\,625\,}\) となる