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問題｜2つのグループに分ける場合の数
場合の数と確率 21\(4\) 人を \(2\) つの部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}\) に入れる方法(空室あり)は何通りか？また、\({\rm A}~,~{\rm B}\) の \(2\) つのグループに分ける方法は？さらに、集合 \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) の部分集合の個数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
2つのグループに分ける場合の数
Point：2つのグループに分ける場合の数
人数分の枠をつくり、それぞれ \({\rm A}\) or \({\rm B}\) の \(2\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=16\) 通り
■ \(2\) つのグループに分ける場合の数
部屋分けと同様に考えるが、すべて \({\rm A}\) グループ or すべて \({\rm B}\) グループの \(2\) 通りはグループ分けにならないので、
\(16-2=14\) 通り
■ \(2\) つの部屋に入れる場合の数
人数分の枠をつくり、それぞれ \({\rm A}\) or \({\rm B}\) の \(2\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=16\) 通り
■ \(2\) つのグループに分ける場合の数
部屋分けと同様に考えるが、すべて \({\rm A}\) グループ or すべて \({\rm B}\) グループの \(2\) 通りはグループ分けにならないので、
\(16-2=14\) 通り
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Point：部分集合の個数
要素の数だけ枠をつくり、それぞれの要素が部分集合に入る or 入らないの \(2\) 通りがあるので、
\(\begin{array}{ccccc}
a & b & c & d & e
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=32\) 通り
※ \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) も空集合も部分集合であるので、すべて入るとすべて入れないも含める。
部分集合の個数は、
要素の数だけ枠をつくり、それぞれの要素が部分集合に入る or 入らないの \(2\) 通りがあるので、
\(\begin{array}{ccccc}
a & b & c & d & e
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=32\) 通り
※ \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) も空集合も部分集合であるので、すべて入るとすべて入れないも含める。
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詳しい解説｜2つのグループに分ける場合の数
場合の数と確率 21
\(4\) 人を \(2\) つの部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}\) に入れる方法(空室あり)は何通りか？また、\({\rm A}~,~{\rm B}\) の \(2\) つのグループに分ける方法は？さらに、集合 \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) の部分集合の個数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(4\) 人をそれぞれ \({\rm A}\) か \({\rm B}\) の部屋に入れる \(2\) 通りの入り方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
よって、
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=16\) 通り
※ \(2\) 個のものから重複を許して \(4\) 個並べる重複順列 \(2^4\) と等しい。
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) の \(2\) つのグループに分けるとき、\(1\) つのグループに全員が集まることができないので、
\(2\) つの部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}\) に分ける \(16\) 通りから、すべて \({\rm A}\) グループ or すべて \({\rm B}\) グループの \(2\) 通りを引くと、
\(16-2=14\)
したがって、\(14\) 通り
集合 \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) の部分集合は、
それぞれの要素が部分集合に入る or 入らないの \(2\) 通りあるので、
\(\begin{array}{ccccc}
a & b & c & d & e
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]2通り & 2通り & 2通り & 2通り & 2通り
\end{array}\)
よって、
\(2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2=32\) 通り
※ \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) も空集合も部分集合であるので、すべて入るとすべて入れないも含める。
