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問題｜乗法定理とn回連続する確率
場合の数と確率 54☆赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入った袋から \(1\) 個ずつ \(4\) 回取り出すとき、同じ色の玉が連続で \(3\) 回以上取り出される確率の求め方は？(玉は元に戻さない)
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
乗法定理とn回連続する確率
Point：乗法定理とn回連続する確率
① \(3\) 回以上連続する事象をもれなく場合分けする。
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
② それぞれの場合の確率を乗法定理で求める。
③ 互いに排反であることより、和事象の確率を求める。
同じ色の玉を \(3\) 回以上連続で取り出す確率は、
① \(3\) 回以上連続する事象をもれなく場合分けする。
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
② それぞれの場合の確率を乗法定理で求める。
③ 互いに排反であることより、和事象の確率を求める。
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詳しい解説｜乗法定理とn回連続する確率
場合の数と確率 54☆
赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入った袋から \(1\) 個ずつ \(4\) 回取り出すとき、同じ色の玉が連続で \(3\) 回以上取り出される確率の求め方は？(玉は元に戻さない)
高校数学A｜場合の数と確率
\(4\) 回中 同じ色の玉が \(3\) 回以上連続する場合は、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]①\,②\,③\,④
\end{array}\)
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
この \(5\) つの場合がある
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^1{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}1\,}{\,7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^1{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}3\,}{\,7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}\cancel{4}^1{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1\,}{\,7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{赤}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}{\,7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^1{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}1\,}{\,7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,5\,]}\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,35\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+3+3+1+1\,}{\,35\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,35\,}\) となる
