このページは、「乗法定理とn回連続する確率」の練習問題アーカイブページとなります。
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乗法定理とn回連続する確率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01白玉 \(5\) 個、赤玉 \(3\) 個が入っている袋から、玉を \(1\) 個ずつ \(4\) 回取り出すとき、同じ色の玉が \(3\) 回以上続いて出る確率を求めよ。ただし、取り出した玉はもとに戻さないものとする。
数研出版｜数学A[712] p.78 演習問題A 5
数研出版｜数学A[104-901] p.78 演習問題A 5
\(4\) 回中 同じ色の玉が \(3\) 回以上連続する場合は、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]①\,②\,③\,④
\end{array}\)
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
この \(5\) つの場合がある
\({\small [\,1\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}{\,8{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,56\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{赤}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1{\, \small \times \,}1\,}{\,8{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,56\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{5}^1{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}\cancel{2}^1\,}{\,8{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,56\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) \({\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{赤}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{赤}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^2{\, \small \times \,}\cancel{3}^1{\, \small \times \,}3\,}{\,8{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}3\,}{\,8{\, \small \times \,}7\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,56\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\) \({\small \enclose{circle}{赤}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}}\) のとき
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{赤}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}} & {\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]
\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}\cancel{5}^1{\, \small \times \,}\cancel{4}^2{\, \small \times \,}\cancel{3}^1\,}{\,8{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\cancel{6}^1{\, \small \times \,}\cancel{5}^1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}2\,}{\,8{\, \small \times \,}7\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,56\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,5\,]}\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,56\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,56\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,56\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,56\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,56\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1+4+6+6\,}{\,56\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,56\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,28\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,28\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02白玉 \(2\) 個と黒玉 \(1\) 個が入っている袋 \({\rm A}\) と、空の袋 \({\rm B}\) がある。まず、袋 \({\rm A}\) から \(1\) 個を取り出して袋 \({\rm B}\) に入れる。次に、袋 \({\rm A}\) の中の \(1\) 個の玉と袋 \({\rm B}\) の玉の交換を \(2\) 回行うとき、袋 \({\rm B}\) の中に黒玉が入っている確率を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.72 章末問題B 11
袋 \({\rm A}\) から \(1\) 個を袋 \({\rm B}\) に入れる事象は、
\({\small [\,1\,]}\) 白玉を袋 \({\rm B}\) に入れる
\({\small [\,2\,]}\) 黒玉を袋 \({\rm B}\) に入れる
この \(2\) つの場合がある
\({\small [\,1\,]}\) 白玉を袋 \({\rm B}\) に入れる場合
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{黒}} & & {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\) 確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\(1\) 回目の交換で、\({\rm A}\) から白玉を出し \({\rm B}\) の白玉を戻すと、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{黒}} & & {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\) 確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(2\) 回目の交換で、\({\rm A}\) から黒玉を出し \({\rm B}\) の白玉を戻すと、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}} & & {\small \enclose{circle}{黒}}
\end{array}\) 確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
よって、確率の乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
\({\small [\,2\,]}\) 黒玉を袋 \({\rm B}\) に入れる場合
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}} & & {\small \enclose{circle}{黒}}
\end{array}\) 確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\(1\) 回目の交換で、\({\rm A}\) から白玉を出し \({\rm B}\) の黒玉を戻すと、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{黒}} & & {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\) 確率は \(1\)
\(2\) 回目の交換で、\({\rm A}\) から黒玉を出し \({\rm B}\) の白玉を戻すと、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & & {\rm B}
\\[-3pt]
{\small \enclose{circle}{白}}{\small \enclose{circle}{白}} & & {\small \enclose{circle}{黒}}
\end{array}\) 確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
よって、確率の乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
