- 数学A｜場合の数と確率「円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)」の基本例題解説ページです。
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問題｜円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)
場合の数と確率 17大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人が円形のテーブルに座るとき、座り方は何通りあるか？また、子ども \(2\) 人が隣り合う座り方は何通りあるか？さらに、\(6\) 色のガラス玉を円形に並べる並べ方は？また、ブレスレットを作るときの作り方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)
Point：円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)
特定の \(1\) 個を固定して、残りの \(n-1\) 個の順列として考える。
\((n-1)!\) 通り
【別解】
一列に並べる順列 \(n!\) を考え、回転して一致するものが \(n\) 通りあるので、\(n!\) を \(n\) 割って求める。
\(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,n\,}\) 通り
この特定の \(2\) つを固定して、残りの \(n-2\) 個の順列と、この \(2\) つの順列の積で求める。
\((n-2)!{\, \small \times \,}2!\) 通り
異なる \(n\) 個のものをじゅず状に並べるとき、
\(n\) 個の円順列を考え、裏返して一致するものが \(2\) つずつあるので、\(2\) で割って求める。
\(\displaystyle \frac{\,(n-1)!\,}{\,2\,}\) 通り
異なる \(n\) 個のものを円形に並べるとき、
特定の \(1\) 個を固定して、残りの \(n-1\) 個の順列として考える。
\((n-1)!\) 通り
【別解】
一列に並べる順列 \(n!\) を考え、回転して一致するものが \(n\) 通りあるので、\(n!\) を \(n\) 割って求める。
\(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,n\,}\) 通り
また、特定の \(2\) つが隣り合う場合は、
この特定の \(2\) つを固定して、残りの \(n-2\) 個の順列と、この \(2\) つの順列の積で求める。
\((n-2)!{\, \small \times \,}2!\) 通り
■ じゅず順列
異なる \(n\) 個のものをじゅず状に並べるとき、
\(n\) 個の円順列を考え、裏返して一致するものが \(2\) つずつあるので、\(2\) で割って求める。
\(\displaystyle \frac{\,(n-1)!\,}{\,2\,}\) 通り
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詳しい解説｜円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)
場合の数と確率 17
大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人が円形のテーブルに座るとき、座り方は何通りあるか？また、子ども \(2\) 人が隣り合う座り方は何通りあるか？さらに、\(6\) 色のガラス玉を円形に並べる並べ方は？また、ブレスレットを作るときの作り方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(5\) 人で円形のテーブルに並べるとき、特定の \(1\) 人を固定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(5-1)!&=&4!\\[3pt]~~~&=&4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&24\end{eqnarray}\)
残り \(4\) 人の順列となるので、
したがって、\(24\) 通り
子ども \(2\) 人を固定すると、
残り \(3\) 人の順列となり、
\(\begin{eqnarray}~~~3!&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
また、子ども \(2\) 人の並び方は、
\(\begin{eqnarray}~~~2!&=&2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
よって、同時に起こるので、積の法則より、
\(6{\, \small \times \,}2=12\)
したがって、\(12\) 通り
\(6\) 色のガラス玉で円形に並べるとき、特定の1個を固定すると、
残り \(5\) 個の順列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(6-1)!&=&5!\\[3pt]~~~&=&5{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)
したがって、\(120\) 通り
ブレスレットをつくるときは裏返して一致するものが \(2\) つずつあるので、
\(\displaystyle \frac{\,120\,}{\,2\,}=60\)
したがって、\(60\) 通り
