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問題｜数字を並べて整数をつくる順列
場合の数と確率 14\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数 or 偶数 or 奇数 or \(5\) の倍数は何通りあるか？また、両端が奇数である \(4\) 桁の整数は何通りあるか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
数字を並べて整数をつくる順列
Point：数字を並べて整数をつくる順列
① 整数の桁数だけ、位の枠をつくる。
\(3\) 桁の整数のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\end{array}\)
② 条件に合うように各位に入る場合の数を求め、積の法則より順列を求める。
※ 最高位には \(0\) が入らないことに注意。
・奇数は、一の位が奇数
・偶数は、一の位が \(0\) or 偶数
・\(5\) の倍数は、一の位が \(0\) or \(5\)
数字を並べて整数をつくる順列は、
① 整数の桁数だけ、位の枠をつくる。
\(3\) 桁の整数のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\end{array}\)
② 条件に合うように各位に入る場合の数を求め、積の法則より順列を求める。
※ 最高位には \(0\) が入らないことに注意。
・奇数は、一の位が奇数
・偶数は、一の位が \(0\) or 偶数
・\(5\) の倍数は、一の位が \(0\) or \(5\)
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詳しい解説｜数字を並べて整数をつくる順列
場合の数と確率 14
\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数 or 偶数 or 奇数 or \(5\) の倍数は何通りあるか？また、両端が奇数である \(4\) 桁の整数は何通りあるか？
高校数学A｜場合の数と確率
\(3\) 桁の整数は、
百の位には \(0\) 以外の \(5\) つの数字から \(1\) つが入り、
十の位と一の位は、百の位に使った数字以外の残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 5 {\small \times} 4=100\) 通り
したがって、\(100\) 通り
\(3\) 桁の偶数は、
偶数は末尾が \(0\) か \(2\) or \(4\) だが、\(0\) のときと \(2\) or \(4\) のときで百の位の選び方が変わるため場合分けする。
\(\small [\,1\,]\) 一の位が \(0\) のとき
百の位と十の位には、残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 0\text{が入る}
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4 {\small \times} 1=20\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 一の位が \(2\) or \(4\) のとき
百の位には一の位の数字と \(0\) 以外の \(4\) つの数字が入り、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 2\,\text{or}\,4
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 4 {\small \times} 2=32\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(20+32=52\) 通り
したがって、\(52\) 通り
\(3\) 桁の奇数は、
一の位には \(1\) or \(3\) or \(5\) の \(3\) つのいずれかが入る
百の位には、一の位に使った数字と \(0\) 以外の \(4\) つの数字から \(1\) つ選び、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 1\,\text{or}\,3\,\text{or}\,5
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 4 {\small \times} 3=48\) 通り
したがって、\(48\) 通り
【別解】
\(3\) 桁の整数が \(100\) 通り、\(3\) 桁の偶数が \(52\) 通りより、\(3\) 桁の奇数は、
\(100-52=48\) 通り
\(3\) 桁の \(5\) の倍数は、
\(5\) の倍数は末尾が \(0\) か \(5\) だが、\(0\) のときと \(5\) のときで百の位の選び方が変わるため場合分けする。
\(\small [\,1\,]\) 一の位が \(0\) のとき
百の位と十の位には、残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 0\text{が入る}
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4 {\small \times} 1=20\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 一の位が \(5\) のとき
百の位には一の位の \(5\) と \(0\) 以外の \(4\) つの数字が入り、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 5\text{が入る}
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 4 {\small \times} 1=16\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(20+16=36\) 通り
したがって、\(36\) 通り
両端が奇数である \(4\) 桁の整数は、
両端の奇数の入り方は、\(1~,~3~,~5\) の \(3\) つの数字から \(2\) つを選んで並べるので、
\(\begin{array}{cccc}
千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & \uparrow
\\[-1pt]3通り & & & 2通り
\end{array}\)
\(3 {\small \times} 2=6\) 通り
間の百の位と十の位には、残りの \(4\) つの数字から \(2\) つを選んで並べるので、
\(\begin{array}{cccc}
千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & 3通り &
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 3=12\) 通り
したがって、積の法則より、
\(6 {\small \times} 12=72\) 通り
したがって、\(72\) 通り
