- 数学A｜場合の数と確率「同じものを使える重複順列」の基本例題解説ページです。
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問題｜同じものを使える重複順列
場合の数と確率 20\(3\) つの文字 \({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(3\) つ並べる場合の数は？また、\(4\) つ並べる場合の数は？さらに、\(4\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3\) を重複を許してできる \(3\) 桁の整数の個数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
同じものを使える重複順列
Point：同じものを使える重複順列
\({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(4\) つ並べる順列は、それぞれの枠で \(3\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3=81\) 通り
重複順列 \(n^r\)
※ 整数をつくるときは \(0\) の扱いに注意！
重複を許して並べる順列は、
\({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(4\) つ並べる順列は、それぞれの枠で \(3\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3=81\) 通り
\(n\) 個のものから重複を許して \(r\) 個を並べる順列の総数は、
重複順列 \(n^r\)
※ 整数をつくるときは \(0\) の扱いに注意！
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詳しい解説｜同じものを使える重複順列
場合の数と確率 20
\(3\) つの文字 \({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(3\) つ並べる場合の数は？また、\(4\) つ並べる場合の数は？さらに、\(4\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3\) を重複を許してできる \(3\) 桁の整数の個数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(3\) つ並べるとき、枠が \(3\) つあり、それぞれ \(3\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3=27\) 通り
\({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(4\) つ並べるとき、枠が \(4\) つあり、それぞれ \(3\) 通りの入れ方があるので、
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3=81\) 通り
\(0~,~1~,~2~,~3\) を重複を許して \(3\) つ並べて \(3\) 桁の整数をつくるとき、枠が \(3\) つあり、
百の位は \(0\) 以外の \(3\) 通り
十の位、一の位は \(4\) 通りずつの入り方があるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 4通り & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(3{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}4=48\) 通り
