- 数学A｜場合の数と確率「3つの集合の和集合の要素の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜3つの集合の和集合の要素の個数
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
3つの集合の和集合の要素の個数
\(3\) つの集合 \(A~,~B~,~C\) の和集合の要素の個数は、
① それぞれの集合の要素の個数 \(n(A)~,~\)\(n(B)~,~\)\(n(C)\) と \(2\) つの集合の共通部分の要素の個数 \(n(A \cap B)~,~\)\(n(B \cap C)~,~\)\(n(C \cap A)\) 、\(3\) つの集合の共通部分の要素の個数 \(n(A \cap B \cap C)\) を求める。
② 公式を用いて、和集合 \(n(A \cup B \cup C)\) を求める。
\(\begin{eqnarray}n(A \cup B \cup C)&=&n(A)+n(B)+n(C)\\[3pt]~~~&&-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)\\[3pt]~~~&&+n(A \cap B \cap C)\end{eqnarray}\)
※ \(3\) つの集合の要素の個数 \(n(A)~,~\)\(n(B)~,~\)\(n(C)\) の和から共通部分 \(n(A \cap B)~,~\)\(n(B \cap C)~,~\)\(n(C \cap A)\) を引くと、\(3\) つの共通部分のカウントが \(0\) になってしまうのでさらに \(n(A \cap B \cap C)\) を加える。
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詳しい解説｜3つの集合の和集合の要素の個数
\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) 、\(3\) 、\(5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数の個数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数は、
\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~\cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)
これより、\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 50\) までの \(50\) 個あるので、
\(n(A)=50~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(3\) の倍数の集合 \(B\) の要素の個数は、
\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~\cdots~,~3 \cdot 33\,\}\)
これより、\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個あるので、
\(n(B)=33~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(5\) の倍数の集合 \(C\) の要素の個数は、
\(C=\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~\cdots~,~5 \cdot 20\,\}\)
これより、\(5 \cdot 1\) から \(5 \cdot 20\) までの \(20\) 個あるので、
\(n(C)=20~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数、つまり \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~\cdots~,~6 \cdot 16\,\}\)
これより、\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個あるので、
\(n(A \cap B)=16~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(15\) の倍数の集合 \(B \cap C\)は、
\(B \cap C=\{\,15 \cdot 1~,~15 \cdot 2~,~\cdots~,~15 \cdot 6\,\}\)
これより、\(15 \cdot 1\) から \(15 \cdot 6\) までの \(6\) 個あるので、
\(n(B \cap C)=6~~~\cdots {\small [\,5\,]}\)
\(5\) の倍数かつ \(2\) の倍数、つまり \(10\) の倍数の集合 \(C \cap A\)は、
\(C \cap A=\{\,10 \cdot 1~,~10 \cdot 2~,~\cdots~,~10 \cdot 10\,\}\)
これより、\(10 \cdot 1\) から \(10 \cdot 10\) までの \(10\) 個あるので、
\(n(C \cap A)=10~~~\cdots {\small [\,6\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(30\) の倍数の集合 \(A \cap B \cap C\)は、
\(A \cap B \cap C=\{\,30 \cdot 1~,~30 \cdot 2~,~30 \cdot 3\,\}\)
これより、\(3\) 個あるので、
\(n(A \cap B \cap C)=3~~~\cdots {\small [\,7\,]}\)
\(2~,~3~,~5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数または \(5\) の倍数の集合の要素の個数であり、
\({\small [\,1\,]}\) から \({\small [\,7\,]}\) を用いると、
※ 数式は横にスクロールできます。
