- 数学A｜場合の数と確率「独立試行の確率と和事象」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜独立試行の確率と和事象
場合の数と確率 45袋Aに赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋Bに赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、それぞれの袋から \(1\) 個取り出すとき、同じ色の玉である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
独立試行の確率と和事象
Point：独立試行の確率と和事象
① \(2\) 個とも赤玉 or \(2\) 個とも白玉で場合分けをして、それぞれの独立試行の確率を求める。
袋Aから玉を取り出す試行と袋Bから玉を取り出す試行は互いに独立より、
\(P(A) {\, \small \times \,} P(B)\)
② \(2\) 個とも赤玉と \(2\) 個とも白玉は互いに排反であるので、和事象の確率を求める。
袋Aと袋Bからそれぞれ同じ色の玉を取り出す場合は、
① \(2\) 個とも赤玉 or \(2\) 個とも白玉で場合分けをして、それぞれの独立試行の確率を求める。
袋Aから玉を取り出す試行と袋Bから玉を取り出す試行は互いに独立より、
\(P(A) {\, \small \times \,} P(B)\)
② \(2\) 個とも赤玉と \(2\) 個とも白玉は互いに排反であるので、和事象の確率を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜独立試行の確率と和事象
場合の数と確率 45
袋Aに赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋Bに赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、それぞれの袋から \(1\) 個取り出すとき、同じ色の玉である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
袋Aと袋Bからそれぞれ玉を取り出して、同じ色となるのは、
\(\small [\,1\,]\) \(2\) 個とも赤玉
\(\small [\,2\,]\) \(2\) 個とも白玉
の \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) \(2\) 個とも赤玉のとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\rm A} && {\rm B}
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}} & | & {\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow && \downarrow
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}} && {\small \enclose{circle}{赤}}
\end{array}\)
{\rm A} && {\rm B}
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}} & | & {\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow && \downarrow
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}} && {\small \enclose{circle}{赤}}
\end{array}\)
袋Aから赤玉を取り出す \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
袋Bから赤玉を取り出す \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\)
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,35\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(2\) 個とも白玉のとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\rm A} && {\rm B}
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}} & | & {\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow && \downarrow
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{白}} && {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\)
{\rm A} && {\rm B}
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}} & | & {\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow && \downarrow
\\[-1pt]{\small \enclose{circle}{白}} && {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\)
袋Aから白玉を取り出す \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
袋Bから白玉を取り出す \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\)
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,35\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので（同時に起こらない）、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,35\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,35\,}&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,35\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,18\,}{\,35\,}\) となる
