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問題｜同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列
場合の数と確率 13☆大人 \(3\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？また、大人 \(4\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、どの子どもも隣り合わない並び方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列
Point：同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列
大人と子どもが同数のとき、交互に並ぶ順列は、
① 片方を一列に並べて、その間と両端に枠をつくる。
大人 \(3\) 人を②、④、⑥に並べるとき、
② そのおのおのについて、もう一方の入れ方と並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
子ども \(3\) 人は①、③、⑤ または ③、⑤、⑦ のどちらかに入るので、
\(3!{\, \small \times \,}(3! {\small \times} 2 )=72\) 通り
大人 \(4\) 人、子ども \(3\) 人を並べるとき、子ども \(3\) 人が隣り合わない順列は、
① 大人を一列に並べて、その間と両端に枠をつくる。
② そのおのおのについて、子どもの枠をつくり、①、③、⑤、⑦、⑨ の \(5\) か所からどこに入るかを割り当てる順列で求める。
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
\(4!{\, \small \times \,}{}_{5}{\rm P}_{3}=1440\) 通り
■ 同数が交互に並ぶ順列
大人と子どもが同数のとき、交互に並ぶ順列は、
① 片方を一列に並べて、その間と両端に枠をつくる。
大人 \(3\) 人を②、④、⑥に並べるとき、
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]&\uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]&\uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
② そのおのおのについて、もう一方の入れ方と並べ方を考えて、積の法則より順列を求める。
子ども \(3\) 人は①、③、⑤ または ③、⑤、⑦ のどちらかに入るので、
\(3!{\, \small \times \,}(3! {\small \times} 2 )=72\) 通り
■ 隣り合わない順列
大人 \(4\) 人、子ども \(3\) 人を並べるとき、子ども \(3\) 人が隣り合わない順列は、
① 大人を一列に並べて、その間と両端に枠をつくる。
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
② そのおのおのについて、子どもの枠をつくり、①、③、⑤、⑦、⑨ の \(5\) か所からどこに入るかを割り当てる順列で求める。
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
\(4!{\, \small \times \,}{}_{5}{\rm P}_{3}=1440\) 通り
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詳しい解説｜同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列
場合の数と確率 13☆
大人 \(3\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？また、大人 \(4\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、どの子どもも隣り合わない並び方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
大人 \(3\) 人を並べて、その間と両端に枠をつくると、
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]&\uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]&\uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
②、④、⑥ への大人 \(3\) 人の並べ方は、
\(3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=6\) 通り
そのおのおのについて、子どもの並べ方は ①、③、⑤、⑦ の枠に子ども \(3\) 人を入れて交互にするので、①、③、⑤ または ③、⑤、⑦ の \(2\) 通りの入り方がある
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & &
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り & &
\end{array}\)
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]& & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]& & 3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & &
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り & &
\end{array}\)
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]& & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]& & 3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
子ども \(3\) 人の並べ方は、
\((3 {\small \times} 2 {\small \times} 1) {\small \times} 2=12\) 通り
よって、積の法則より、
\(6 {\small \times} 12=72\) 通り
したがって、\(72\) 通りとなる
大人 \(4\) 人を並べて、その間と両端に枠をつくると、
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
②、④、⑥、⑧ への大人の並べ方は、
\(4 {\small \times} 3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=24\) 通り
そのおのおのについて、子どもの並べ方は、①、③、⑤、⑦、⑨ の \(5\) か所から \(3\) か所選んで、子ども \(3\) 人を並べる
これは、子ども \(3\) 人 \({\rm A~,~B~,~C}\) の枠に①、③、⑤、⑦、⑨ の \(5\) か所からどこに入るかを割り当てる順列と考えられるので、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
1人目の子どもは、\(5\) か所から選べて \(5\) 通り
2人目の子どもは、残り \(4\) か所から選べて \(4\) 通り
3人目の子どもは、残り \(3\) か所から選べて \(3\) 通り
\(5 {\small \times} 4 {\small \times} 3=60\) 通り
よって、積の法則より、
\(24 {\small \times} 60=1440\) 通り
したがって、\(1440\) 通りとなる
