- 数学A｜図形の性質「三角形の外心と角度」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の外心と角度
図形の性質 04\(\triangle {\rm ABC}\) と外心 \({\rm O}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BOC}\) と \(\angle {\rm OBC}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の外心と角度
Point：三角形の外心と角度
定理：三角形の \(3\) 辺の垂直二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の外心といい、三角形の外接円の中心となる。
■ 三角形の外心と角度
\({\small [\,1\,]}\) 円周角の定理
\(\angle {\rm BOC}\) は中心角となるので、
\(\angle {\rm BOC}=2{\, \small \times \,}\angle {\rm BAC}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(\triangle {\rm OBC}\) は二等辺三角形
\({\rm OA}={\rm OB}={\rm OC}=\) 外接円の半径より、
\(\triangle {\rm OBC}\) は \({\rm OB}={\rm OC}\) の二等辺三角形
底角は等しいので、\(\angle {\rm OBC}=\angle {\rm OCB}\)
定理：三角形の \(3\) 辺の垂直二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の外心といい、三角形の外接円の中心となる。
■ 三角形の外心と角度
\({\small [\,1\,]}\) 円周角の定理
\(\angle {\rm BOC}\) は中心角となるので、
\(\angle {\rm BOC}=2{\, \small \times \,}\angle {\rm BAC}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(\triangle {\rm OBC}\) は二等辺三角形
\({\rm OA}={\rm OB}={\rm OC}=\) 外接円の半径より、
\(\triangle {\rm OBC}\) は \({\rm OB}={\rm OC}\) の二等辺三角形
底角は等しいので、\(\angle {\rm OBC}=\angle {\rm OCB}\)
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詳しい解説｜三角形の外心と角度
図形の性質 04\(\triangle {\rm ABC}\) と外心 \({\rm O}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BOC}\) と \(\angle {\rm OBC}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
円周角と中心角の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BOC}&=&2{\, \small \times \,}\angle {\rm BAC}\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}70^\circ\\[3pt]~~~&=&140^\circ\end{eqnarray}\)
また、\({\rm OB}~,~{\rm OC}\) はこの外接円の半径より、
\({\rm OB}={\rm OC}\)
よって、\(\triangle {\rm OBC}\) は \({\rm OB}={\rm OC}\) の二等辺三角形となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm OBC}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-\angle {\rm BOC}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-140^\circ\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40^\circ\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&20^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm BOC}=140^\circ~,~\angle {\rm OBC}=20^\circ\) となる
