- 数学A「図形の性質」の基本例題一覧ページです。
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三角形の辺と比
01｜三角形と比の定理と中点連結定理
図形の性質 01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上の点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AP}:{\rm PB}=2:1\) のとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}~,~\)\({\rm PQ}:{\rm BC}\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\) と \({\rm BC}\) に成り立つ式は？
02｜直線上の内分点・外分点の作図
図形の性質 02線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点 \({\rm P}\)、\(2:1\) に外分する点 \({\rm Q}\)、\(1:2\) に外分する点 \({\rm R}\) をそれぞれ図で表す方法は？
03｜三角形の角の二等分線と比
図形の性質 03\(\triangle {\rm ABC}\)（\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\)）の \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点 \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、頂点 \({\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長線との交点 \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm CQ}\) の長さの求め方は？
三角形の五心
04｜三角形の外心と角度
図形の性質 04\(\triangle {\rm ABC}\) と外心 \({\rm O}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BOC}\) と \(\angle {\rm OBC}\) の大きさの求め方は？
05｜三角形の外心の位置
図形の性質 05辺 \({\rm AB}\) を斜辺とする直角三角形の外心の位置は？また、\(\angle {\rm A}\gt 90^\circ\) の鈍角三角形の外心の位置は？
06｜三角形の内心と角度
図形の性質 06\(\triangle {\rm ABC}\) と内心 \({\rm I}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ~,~\angle {\rm ACI}=35^\circ\) のとき、\(\angle {\rm IBC}\) と \(\angle {\rm BIC}\) の大きさの求め方は？
07☆｜三角形の内心と線分の比
図形の性質 07☆\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の内心 \({\rm I}\) について、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm AI}:{\rm ID}\) の求め方は？
08☆｜外角の二等分線の交点（傍心）
図形の性質 08☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm B}\) の外角の二等分線と \(\angle {\rm C}\) の外角の二等分線の交点を \({\rm I}\) とするとき、\({\rm I}\) は \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線上にあることの証明方法は？
09｜三角形の重心と面積比
図形の性質 09\(\triangle {\rm ABC}\) と重心 \({\rm G}\)、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、\(\triangle {\rm BAG}\) と \(\triangle {\rm BGM}\) の面積比、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm GBC}\) の面積比の求め方は？
10｜重心・外心・内心が一致する三角形
図形の性質 10重心と外心、重心と内心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
11｜三角形の垂心の位置
図形の性質 11辺 \({\rm AB}\) を斜辺とする直角三角形 \({\rm ABC}\) の垂心の位置は？また、垂心と内心、垂心と外心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
チェバの定理とメネラウスの定理
12｜チェバの定理と線分の比
図形の性質 12\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AR}:{\rm RB}\) の求め方は？
13｜メネラウスの定理と線分の比
図形の性質 13\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AB}\) の中点を \({\rm R}\) として、直線 \({\rm PR}\) と辺 \({\rm AC}\) の交点を \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}\) と \({\rm PQ}:{\rm QR}\) の求め方は？
14｜チェバ・メネラウスの定理と面積比
図形の性質 14\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AO}:{\rm OP}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) の面積比の求め方は？
15☆｜チェバ・メネラウスの定理を用いた証明
図形の性質 15☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上に \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) となるように点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとり、線分 \({\rm PC}\) と \({\rm QB}\) との交点を \({\rm O}\) として、直線 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm R}\) とするとき、点 \({\rm R}\) が辺 \({\rm BC}\) の中点であることの証明方法は？
16☆｜三角形の外部の点とチェバの定理
図形の性質 16☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm R}\) 、辺 \({\rm AC}\) を \(4:1\) に外分する点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm BQ}\) と \({\rm CR}\) の交点を \({\rm O}\) 、線分 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}:{\rm PC}\) の求め方は？
17☆｜チェバの定理の逆と1点で交わることの証明
図形の性質 17☆チェバの定理の逆を用いた「三角形の \(3\) 本の中線は \(1\) 点で交わる」と「三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる」の証明方法は？
18☆｜メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明
図形の性質 18☆\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点を \({\rm D}\) 、\(\angle {\rm B}\) の二等分線と辺 \({\rm AC}\) との交点を \({\rm E}\) 、\(\angle {\rm C}\) の二等分線と辺 \({\rm AB}\) との交点を \({\rm F}\) とすとき、\(3\) 点 \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) は一直線上にあることの証明方法は？
19☆｜三角形の3辺の大小関係
図形の性質 19☆\(3\) つの線分 \(x~,~5~,~8\) が三角形の \(3\) 辺となるような \(x\) の値の範囲の求め方は？
20☆｜三角形の辺と角の大小関係
図形の性質 20☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AC} \gt {\rm AB}\) ならば \(\angle {\rm B} \gt \angle {\rm C}\) であることの証明方法は？
円に内接する四角形
21｜円周角の定理と同一円周上にある条件
図形の性質 21円 \({\rm O}\) に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BDC}\) と \(\angle {\rm BOC}\) の大きさの求め方は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^\circ~,~\angle {\rm ADB}=30^\circ\) のとき、\(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
22｜円に内接する四角形の内角と外角
図形の性質 22円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm BC}\) の延長線上の点 \({\rm E}\) において、\(\angle {\rm BAD}=50^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BCD}\) と \(\angle {\rm DCE}\) の大きさの求め方は？
23｜円に内接する四角形の角度と証明
図形の性質 23\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) の \(2\) つの交点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) があり、点 \({\rm P}\) を通る直線と円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) の交点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) 、点 \({\rm Q}\) を通る直線と円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) の交点を \({\rm C}~,~{\rm D}\) とするとき、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm BD}\) であることの証明方法は？
24｜対角・外角と円に内接する四角形の証明
図形の性質 24\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) である台形 \({\rm ABCD}\) の頂点 \({\rm B}~,~{\rm C}\) を通る円が辺 \({\rm AB}~,~{\rm DC}\) とそれぞれ点 \({\rm E}~,~{\rm F}\) で交わるとき、四角形 \({\rm AEFD}\) は円に内接することの証明方法は？
円と接線の定理
25｜円の接線の長さの定理
図形の性質 25\(\angle {\rm A}=90^\circ~,~{\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) の内接円 \({\rm O}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さと内接円の半径の求め方は？
26｜接線と弦の作る角
図形の性質 26円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) がつくる角 \(\angle {\rm BAT}=40^\circ\) のとき、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
27｜円と接線を用いた証明
図形の性質 27円 \({\rm O}\) が四角形 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CD}~,~{\rm DA}\) に点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) で接しているとき、\({\rm AB}+{\rm CD}={\rm BC}+{\rm DA}\) 、\(\triangle {\rm OAB}+\triangle {\rm OCD}=\triangle {\rm OBC}+\triangle {\rm OAD}\) の証明方法は？
円と弦の方べきの定理
28｜方べきの定理と線分の長さ
図形の性質 28円の \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AP}=3~,~{\rm CP}=6~,~{\rm DP}=4\) のとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、\({\rm AB}~,~{\rm CD}\) の延長線の交点 \({\rm P}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm AP}=2~,~{\rm CP}=3\) のとき、\({\rm CD}\) の長さの求め方は？さらに、円の外部の点 \({\rm P}\) から円に引いた接線の接点を \({\rm T}\) 、\({\rm P}\) を通る直線が円と \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わり、\({\rm AB}=3~,~{\rm AP}=4~,~{\rm AP}\lt {\rm BP}\) のとき、\({\rm PT}\) の長さの求め方は？
29｜方べきの定理を用いた証明
図形の性質 29\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に直線 \({\rm AB}\) 上の点 \({\rm P}\) から接線 \({\rm PT}~,~{\rm PT}^{\prime}\) を引くとき、\({\rm PT}={\rm PT}^{\prime}\) であることの証明方法は？
30｜方べきの定理の逆と同一円周上にある証明
図形の性質 30\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が点 \({\rm T}\) で同じ直線に接しており、この接線上の点 \({\rm T}\) と異なる点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に引いた直線との交点をそれぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}\) と \({\rm C}~,~{\rm D}\) とするとき、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}~,~\)\({\rm D}\) が同一円周上にあることの証明方法は？
31☆｜トレミーの定理の証明
図形の性質 31☆円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm BD}\) 上に \(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAD}\) となる点 \({\rm E}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABE} \backsim \triangle {\rm ACD}\) と \(\triangle {\rm ABC} \backsim \triangle {\rm AED}\) を示すことで \({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm BC} \cdot {\rm DA}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\) を証明する方法は？
2つの円の位置
32｜2つの円の位置と共通接線
図形の性質 32半径 \(r\) の円 \({\rm O}\) と半径 \(r^{\prime}\) の円 \({\rm O}^{\prime}\) \((r\gt r^{\prime})\) の中心間の距離を \(d\) とするとき、\(2\) つの円の位置関係とその条件式と共通接線の本数の求め方は？
33｜共通外接線と共通内接線の長さ
図形の性質 33直線 \({\rm AB}\) が \(2\) つの円 \({\rm O}\)（半径 \(5\)）と円 \({\rm O}^{\prime}\)（半径 \(2\)）に点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で接しており、中心間の距離が \(9\) のとき、共通外接線 \({\rm AB}\) または共通内接線 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
34｜内接する2つの円の共通接線
図形の性質 34\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が点 \({\rm P}\) で内接しており、点 \({\rm P}\) を通る \(2\) 本の直線が円 \({\rm O}\) と点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で円 \({\rm O}^{\prime}\) と点 \({\rm C}~,~{\rm D}\) で交わるとき、\({\rm AB}\,/\!/\,{\rm CD}\) となることの証明方法は？
作図の方法
35｜平行な直線・内分点・外分点の作図
図形の性質 35[作図] 点 \({\rm A}\) を通る直線 \(\ell\) に平行で点 \({\rm P}\) を通る直線の作図の方法は？また、線分 \({\rm AB}\) が与えられたとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に内分する点 \({\rm P}\) や線分 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に外分する点 \({\rm Q}\) の作図の方法は？
36｜2つの線分の積・商や平方根の長さの作図
図形の性質 36[作図] 長さ \(1\) の線分 \({\rm AB}\) と長さ \(a~,~b\) の線分が与えられたとき、長さ \(ab\) 、長さ \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) 、長さ \(\sqrt{\,a\,}\) の線分の作図の方法は？
空間図形の直線と平面
37｜空間図形の2直線の位置関係
図形の性質 37直方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、辺 \({\rm AB}\) と平行な辺orねじれの位置にある辺の求め方は？
38｜空間図形の2直線のなす角
図形の性質 38立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm CG}\)、\({\rm AB}\) と \({\rm HF}\)、\({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のそれぞれのなす角 \(\theta~(0°{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}90°)\) の求め方は？
39｜空間図形の直線と平面の位置関係
図形の性質 39正四面体 \({\rm ABCD}\) と辺 \({\rm CD}\) の中点 \({\rm M}\) において、辺 \({\rm CD}\) と \(\triangle {\rm ABM}\) が垂直と、\({\rm AB}\perp{\rm CD}\) であることの証明方法は？
40｜空間図形の2平面のなす角
図形の性質 40立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、\(2\) 平面 \({\rm ABC}\) と \({\rm ABE}\)、\({\rm ABC}\) と \({\rm ABG}\) のそれぞれのなす角 \(\theta~(0°{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}90°)\) の求め方は？
41｜空間図形の2平面の位置関係
図形の性質 41空間内の異なる \(3\) つの平面 \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) について、「 \(\alpha\perp\beta~,~\)\(\beta\perp\gamma\) ならば \(\alpha~/\!/~\gamma\) である」と「 \(\alpha\perp\beta~,~\)\(\beta~/\!/~\gamma\) ならば \(\alpha\perp\gamma\) である」はそれぞれ正しいかの調べ方は？
42｜平面と直線の垂直と三垂線の定理
図形の性質 42正四面体 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\)、頂点 \({\rm A}\) から線分 \({\rm DM}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とするとき、\({\rm AH}\perp\)平面 \({\rm BCD}\) となることの証明方法は？
多面体
43｜正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理
図形の性質 43正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体について、それぞれの面の形、面の数、\(1\) つの頂点に集まる面の数、頂点の数、辺の数を調べて、オイラーの多面体の定理が成り立つことの調べ方は？
44｜立方体内の正八面体
図形の性質 44\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各面の対角線の交点を頂点とする立体 \({\rm PQRSTU}\) が正八面体であることの証明方法は？また、この正八面体の体積の求め方は？
45｜立方体内の正四面体
図形の性質 45\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、立体 \({\rm BDEG}\) が正四面体であることの証明方法は？また、この正四面体の体積の求め方は？
46☆｜立方体のかどを切った多面体
図形の性質 46☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) において、各辺の中点を通る平面で \(8\) つのかどを切り取った多面体の表面積と体積の求め方は？
