- 数学A｜図形の性質「円の接線の長さの定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜円の接線の長さの定理
図形の性質 25\(\angle {\rm A}=90^\circ~,~{\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) の内接円 \({\rm O}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さと内接円の半径の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
円の接線の長さの定理
Point：円の接線の長さの定理
\(\small [\,1\,]\) 接線と円の半径は垂直に交わる。
\({\rm OA} \perp {\rm PA}~,~{\rm OB} \perp {\rm PB}\)
\(\small [\,2\,]\) \(2\) つの接線の長さは等しい。
\({\rm PA}={\rm PB}\)
■ 三角形と内接円
\(3\) 辺がそれぞれ接線となるので、
\({\rm OR} \perp {\rm AB}~,~{\rm OP} \perp {\rm BC}~,~{\rm OQ} \perp {\rm CA}\)
\({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BR}={\rm BP}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
特に、\(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形のとき、
四角形 \({\rm AROQ}\) が正方形となり、
内接円の半径 \(={\rm AR}={\rm AQ}\)
円 \({\rm O}\) の外部の点 \({\rm P}\) からその円に引いた \(2\) 本の接線について、
\(\small [\,1\,]\) 接線と円の半径は垂直に交わる。
\({\rm OA} \perp {\rm PA}~,~{\rm OB} \perp {\rm PB}\)
\(\small [\,2\,]\) \(2\) つの接線の長さは等しい。
\({\rm PA}={\rm PB}\)
■ 三角形と内接円
\(3\) 辺がそれぞれ接線となるので、
\({\rm OR} \perp {\rm AB}~,~{\rm OP} \perp {\rm BC}~,~{\rm OQ} \perp {\rm CA}\)
\({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BR}={\rm BP}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
特に、\(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形のとき、
四角形 \({\rm AROQ}\) が正方形となり、
内接円の半径 \(={\rm AR}={\rm AQ}\)
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詳しい解説｜円の接線の長さの定理
図形の性質 25\(\angle {\rm A}=90^\circ~,~{\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) の内接円 \({\rm O}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さと内接円の半径の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
直角三角形 \({\rm ABC}\) で三平方の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BC}&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+9\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
次に、辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CA}\) は円の接線より、
\({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BR}={\rm BP}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
ここで、\({\rm BP}=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BR}&=&{\rm BP}=x\\[3pt]~~~{\rm AR}&=&{\rm BA}-{\rm BR}=4-x\\[3pt]~~~{\rm AQ}&=&{\rm AR}=4-x\\[3pt]~~~{\rm CQ}&=&{\rm CA}-{\rm QA}=3-(4-x)=x-1\\[3pt]~~~{\rm CP}&=&{\rm CQ}=x-1\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm BP}+{\rm PC}={\rm BC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+(x-1)&=&5\\[3pt]~~~2x&=&6\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}=3\) となる
次に、この内接円の中心を \({\rm O}\)、半径を \(r\) とすると、
\({\rm OR} \perp {\rm AB}~,~{\rm OQ} \perp {\rm AC}~,~{\rm AR}={\rm AQ}\)
\(\angle {\rm A}=90^\circ\)
これより、四角形 \({\rm AROQ}\) は正方形となるので、
\(r={\rm AR}={\rm AQ}\)
また、\({\rm AR}={\rm AQ}=4-x\) で、\(x=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&4-3\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、内接円の半径は \(1\) となる
定理の証明
証明01円の外部の \(1\) 点からその円に引いた \(2\) 本の接線について、\(2\) つの接線の長さは等しい。
[証明]
円の中心を \({\rm O}\) 、接点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、
\(\triangle {\rm OAP}\) と \(\triangle {\rm OBP}\) において、\({\rm OP}\) は共通であるので、
\({\rm OP}={\rm OP}\)
また、\({\rm OA}~,~{\rm OB}\) はともに円の半径であるので、
\({\rm OA}={\rm OB}\)
さらに、接線は接点を通る半径に垂直であるので、
\(\angle {\rm OAP}=\angle {\rm OBP}=90°\)
直角三角形の斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm OAP}\equiv\triangle {\rm OBP}\)
したがって、\(2\) つの接線の長さは等しく、\({\rm PA}={\rm PB}\) となる [終]
