- 数学A｜図形の性質「三角形の角の二等分線と比」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜三角形の角の二等分線と比
図形の性質 03\(\triangle {\rm ABC}\)（\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\)）の \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点 \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、頂点 \({\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長線との交点 \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm CQ}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
練習問題アーカイブページはこちら→
三角形の角の二等分線と比
解法のPoint
三角形の角の二等分線と比
Point：三角形の角の二等分線と比■ 内角の二等分線と比の関係
\(\triangle {\rm ACB}\) の \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm P}\) とすると、
\({\rm BP}:{\rm PC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
\({\rm AB}\ne {\rm AC}\) の \(\triangle {\rm ACB}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点を \({\rm Q}\) とすると、
\({\rm BQ}:{\rm QC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
\(\triangle {\rm ACB}\) の \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm P}\) とすると、
\({\rm BP}:{\rm PC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
■ 外角の二等分線と比の関係
\({\rm AB}\ne {\rm AC}\) の \(\triangle {\rm ACB}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点を \({\rm Q}\) とすると、
\({\rm BQ}:{\rm QC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜三角形の角の二等分線と比
図形の性質 03\(\triangle {\rm ABC}\)（\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\)）の \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点 \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}\) の長さの求め方は？また、頂点 \({\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長線との交点 \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm CQ}\) の長さの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
内角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}:{\rm PC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
外角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BQ}:{\rm QC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
ここで、\({\rm CQ}=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BQ}&=&{\rm BC}+{\rm CQ}\\[3pt]~~~&=&5+x\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~(5+x):x&=&3:2\\[3pt]~~~3x&=&2(5+x)\\[3pt]~~~3x&=&10+2x\\[3pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}=3~,~{\rm CQ}=10\) となる
定理の証明
証明01\(\triangle {\rm ACB}\) の \(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点 \({\rm P}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \({\rm AB}:{\rm AC}\) に内分する。
[証明]
点 \({\rm C}\) を通り直線 \({\rm AP}\) に平行な直線を引き、辺 \({\rm AB}\) の \({\rm A}\) を越える延長との交点を \({\rm D}\) とすると、
\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm DC}\) であり、平行線の同位角・錯角は等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAP}&=&\angle {\rm ADC}
\\[3pt]~~~\angle {\rm PAC}&=&\angle {\rm ACD}
\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AP}\) は \(\angle {\rm A}\) の二等分線であるので、
\(\angle {\rm BAP}=\angle {\rm PAC}\)
よって、
\(\angle {\rm ADC}=\angle {\rm ACD}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm AD}={\rm AC}\)
また、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm DC}\) より、\(\triangle {\rm BDC}\) において三角形と平行線の比の関係を用いると、
\({\rm BP}:{\rm PC}={\rm BA}:{\rm AD}\)
これより、
\({\rm BP}:{\rm PC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
したがって、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点 \({\rm P}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \({\rm AB}:{\rm AC}\) に内分する [終]
証明02\({\rm AB}\ne {\rm AC}\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点 \({\rm Q}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \({\rm AB}:{\rm AC}\) に外分する。ただし、\({\rm AB}\gt{\rm AC}\) とする。
[証明]
点 \({\rm C}\) を通り直線 \({\rm AQ}\) に平行な直線を引き、辺 \({\rm AB}\) との交点を \({\rm E}\) とすると、
\({\rm AQ}\,/\!/\,{\rm EC}\) より、三角形と平行線の比の関係を用いると、
\({\rm BQ}:{\rm CQ}={\rm AB}:{\rm AE}\)
ここで、辺 \({\rm AB}\) の \({\rm A}\) を越える延長上に点 \({\rm F}\) をとると、
\({\rm AQ}\,/\!/\,{\rm EC}\) であり、平行線の同位角・錯角は等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AEC}&=&\angle {\rm FAQ}
\\[3pt]~~~\angle {\rm ACE}&=&\angle {\rm CAQ}
\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AQ}\) は \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線であるので、
\(\angle {\rm FAQ}=\angle {\rm CAQ}\)
よって、
\(\angle {\rm AEC}=\angle {\rm ACE}\)
\(\triangle {\rm AEC}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm AE}={\rm AC}\)
これより、
\({\rm BQ}:{\rm CQ}={\rm AB}:{\rm AC}\)
したがって、\(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点 \({\rm Q}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \({\rm AB}:{\rm AC}\) に外分する [終]
