- 数学A｜図形の性質「三角形の3辺の大小関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の3辺の大小関係
図形の性質 19☆\(3\) つの線分 \(x~,~5~,~8\) が三角形の \(3\) 辺となるような \(x\) の値の範囲の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の3辺の大小関係
Point：三角形の3辺の大小関係
どの \(2\) 辺の長さの和も、他の \(1\) 辺の長さより大きいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+b \gt c\\
b+c \gt a\\
c+a \gt b
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これらがすべて同時に成り立つときである。
\(|\, b-c \,| \lt a \lt b+c\)
長さ \(a~,~b~,~c\) の線分を \(3\) 辺とする三角形が存在する条件は、
どの \(2\) 辺の長さの和も、他の \(1\) 辺の長さより大きいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+b \gt c\\
b+c \gt a\\
c+a \gt b
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これらがすべて同時に成り立つときである。
また、この式を \(1\) つの式にまとめると、
\(|\, b-c \,| \lt a \lt b+c\)
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詳しい解説｜三角形の3辺の大小関係
図形の性質19☆\(3\) つの線分 \(x~,~5~,~8\) が三角形の \(3\) 辺となるような \(x\) の値の範囲の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\(3\) つの線分 \(x~,~5~,~8\) が三角形の \(3\) 辺となる条件は、どの \(2\) 辺の和も他の \(1\) 辺より大きいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x+5 \gt 8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
5+8 \gt x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\
8+x \gt 5~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+5&\gt&8\\[3pt]~~~x&\gt&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5+8&\gt&x\\[3pt]~~~13&\gt&x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~8+x&\gt&5\\[3pt]~~~x&\gt&-3\end{eqnarray}\)
これらがすべて同時に成り立つ範囲より、
\(3 \lt x \lt 13\)
【別解】 \(3\) つの線分 \(x~,~5~,~8\) が三角形の \(3\) 辺となる条件は、
\(2\) 辺の差より大きく、\(2\) 辺の和より小さいので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,5-8\,|&\lt&x \lt 5+8\\[3pt]~~~|\,-3\,|&\lt&x \lt 13\\[3pt]~~~3&\lt&x \lt 13\end{eqnarray}\)
したがって、\(3 \lt x \lt 13\) となる
定理の証明
証明01定理：三角形において、\(2\) 辺の長さの差は、他の \(1\) 辺の長さより小さい。
高校数学A｜図形の性質
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、\(2\) 辺の長さの和は他の \(1\) 辺の長さより大きいので、
\({\rm AC}+{\rm BC}\gt{\rm AB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm AB}+{\rm BC}\gt{\rm AC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\({\rm AB}-{\rm AC}\lt{\rm BC}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm AB}-{\rm AC}\gt-{\rm BC}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~-{\rm BC}&\lt&{\rm AB}-{\rm AC}\lt{\rm BC}
\\[3pt]~~~\left|\,{\rm AB}-{\rm AC}\,\right|&\lt&{\rm BC}\end{eqnarray}\)
他の辺でも同様に成り立つので、
\(\left|\,{\rm BA}-{\rm BC}\,\right|\lt{\rm AC}~,~\left|\,{\rm CA}-{\rm CB}\,\right|\lt{\rm AB}\)
したがって、三角形の \(2\) 辺の長さの差は、他の \(1\) 辺の長さより小さい [終]
