- 数学A｜図形の性質「重心・外心・内心が一致する三角形」の基本例題解説ページです。
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問題｜重心・外心・内心が一致する三角形
図形の性質 10重心と外心、重心と内心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
重心・外心・内心が一致する三角形
Point：重心・外心・内心が一致する三角形
重心の条件（中線）より、\({\rm BD}={\rm DC}\)
外心の条件より、\({\rm OD}\perp{\rm DC}~,~{\rm BD}={\rm DC}\)
よって、\({\rm AD}\) が垂直二等分線で、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\) となるので、
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である。
重心の条件（中線）より、\({\rm BD}={\rm DC}\)
内心の条件（内角の二等分線）より、
\({\rm AB}:{\rm AC}={\rm BD}:{\rm DC}\)
よって、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\) となるので、
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である。
■ 重心と外心が一致するとき
重心の条件（中線）より、\({\rm BD}={\rm DC}\)
外心の条件より、\({\rm OD}\perp{\rm DC}~,~{\rm BD}={\rm DC}\)
よって、\({\rm AD}\) が垂直二等分線で、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\) となるので、
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である。
■ 重心と内心が一致するとき
重心の条件（中線）より、\({\rm BD}={\rm DC}\)
内心の条件（内角の二等分線）より、
\({\rm AB}:{\rm AC}={\rm BD}:{\rm DC}\)
よって、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\) となるので、
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である。
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詳しい解説｜重心・外心・内心が一致する三角形
図形の性質 10重心と外心、重心と内心がそれぞれ一致する三角形は正三角形であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明] 三角形の重心と外心が点 \({\rm O}\) で一致するとすると、
直線 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、点 \({\rm O}\) が重心であることより、
\({\rm BD}={\rm CD}\)
また、点 \({\rm O}\) は外心であることより、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線上に点 \({\rm O}\) があるので、
\({\rm OD}\perp{\rm BC}\)
これより、線分 \({\rm AD}\) は辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線となり、
\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
※ 点 \({\rm B}\) からも同様に考える。
よって、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm AC}\)
したがって、重心と外心が一致する三角形は正三角形である [終]
[証明] 三角形の重心と内心が点 \({\rm I}\) で一致するとすると、
直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、点 \({\rm I}\) が重心であることより、
\({\rm BD}:{\rm DC}=1:1\)
また、点 \({\rm I}\) は内心であることより、直線 \({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) の二等分線であり、内角の二等分線と辺の比より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}:{\rm AC}&=&{\rm BD}:{\rm DC}\\[3pt]~~~&=&1:1\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm AB}={\rm AC}\)
同様に、\({\rm BA}={\rm BC}\)
※ 点 \({\rm B}\) からも同様に考える。
これより、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm AC}\)
したがって、重心と内心が一致する三角形は正三角形である [終]
