- 数学A｜図形の性質「チェバ・メネラウスの定理と面積比」の基本例題解説ページです。
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問題｜チェバ・メネラウスの定理と面積比
図形の性質 14\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AO}:{\rm OP}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) の面積比の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
チェバ・メネラウスの定理と面積比
Point：チェバ・メネラウスの定理と面積比
■ 三角形の内部の点で交わる線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) について、チェバの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\(\triangle {\rm ABP}\) と直線 \({\rm CR}\) について、メネラウスの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm CP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PO}\,}{\,{\rm OA}\,}=1\)
底辺が等しい三角形は、面積比＝高さの比となる。
高さが等しい三角形は、面積比＝底辺の比となる。
■ 三角形の内部の点で交わる線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) について、チェバの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
■ 三角形と \(1\) 本の直線
\(\triangle {\rm ABP}\) と直線 \({\rm CR}\) について、メネラウスの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm CP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PO}\,}{\,{\rm OA}\,}=1\)
■ 三角形の面積比
底辺が等しい三角形は、面積比＝高さの比となる。
高さが等しい三角形は、面積比＝底辺の比となる。
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詳しい解説｜チェバ・メネラウスの定理と面積比
図形の性質14\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\) 、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とするとき、\({\rm AO}:{\rm OP}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) の面積比の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\({\rm AO}:{\rm OP}\) について、\(\triangle {\rm APC}\) と直線 \({\rm BQ}\) に着目する
\({\rm A} \to {\rm O} \to {\rm P} \to {\rm B} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\) と一周するメネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PB}\,}{\,{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm PB}:{\rm BC}=2:(2+3)=2:5\) 、\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AO}:{\rm OP}=5:2\) となる
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) の面積比について、\({\rm AO}:{\rm OP}=5:2\) より、
\({\rm AP}:{\rm OP}=(5+2):2=7:2\)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) は、ともに底辺を \({\rm BC}\) とみると高さの比は \({\rm AP}:{\rm OP}\) に等しい
よって、面積比も高さの比に等しくなり、
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=7:2\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=7:2\) となる
