- 数学A｜図形の性質「円周角の定理と同一円周上にある条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜円周角の定理と同一円周上にある条件
図形の性質 21円 \({\rm O}\) に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BDC}\) と \(\angle {\rm BOC}\) の大きさの求め方は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^\circ~,~\angle {\rm ADB}=30^\circ\) のとき、\(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
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円周角の定理と同一円周上にある条件
解法のPoint
円周角の定理と同一円周上にある条件
Point：円周角の定理と同一円周上にある条件■ 円周角の定理
定理：\(1\) つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
\(\angle {\rm AOB}=\angle {\rm APB} {\, \small \times \,} 2\)
定理：\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) について、点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) が直線 \({\rm AB}\) に関して同じ側にあって \(\angle {\rm APB}=\angle {\rm AQB}\) ならば、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) は \(1\) つの円周上にある。
定理：\(1\) つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
\(\angle {\rm APB}=\angle {\rm AQB}\)
\(\angle {\rm AOB}=\angle {\rm APB} {\, \small \times \,} 2\)
■ 円周角の定理の逆
定理：\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) について、点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) が直線 \({\rm AB}\) に関して同じ側にあって \(\angle {\rm APB}=\angle {\rm AQB}\) ならば、\(4\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) は \(1\) つの円周上にある。
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詳しい解説｜円周角の定理と同一円周上にある条件
図形の性質 21円 \({\rm O}\) に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=70^\circ\) のとき、\(\angle {\rm BDC}\) と \(\angle {\rm BOC}\) の大きさの求め方は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^\circ~,~\angle {\rm ADB}=30^\circ\) のとき、\(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
弧 \({\rm BC}\) に対する円周角が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BDC}&=&\angle {\rm BAC}\\[3pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}\)
また、弧 \({\rm BC}\) に対する中心角は、円周角の \(2\) 倍であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BOC}&=&\angle {\rm BAC} {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&70^\circ{\, \small \times \,}2\\[3pt]~~~&=&140^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm BDC}=70^\circ~,~\angle {\rm BOC}=140^\circ\) となる
\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^\circ\) より、円周角の定理の逆が成り立つので、\(4\) 点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) は同一円周上にある
よって、弧 \({\rm AB}\) に対する円周角の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ACB}&=&\angle {\rm ADB}\\[3pt]~~~&=&30^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm ACB}=30^\circ\) となる
