- 数学A｜図形の性質「三角形の内心と角度」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の内心と角度
図形の性質 06\(\triangle {\rm ABC}\) と内心 \({\rm I}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ~,~\angle {\rm ACI}=35^\circ\) のとき、\(\angle {\rm IBC}\) と \(\angle {\rm BIC}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の内心と角度
Point：三角形の内心と角度
定理：三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を内心といい、三角形の内接円の中心となる。
\({\rm AI}~,~{\rm BI}~,~{\rm CI}\) はそれぞれ角の二等分線より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAI}&=&\angle {\rm CAI}\\[3pt]~~~\angle {\rm ABI}&=&\angle {\rm CBI}\\[3pt]~~~\angle {\rm ACI}&=&\angle {\rm BCI}\end{eqnarray}\)
辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) は円に接するので、
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm IP}={\rm IQ}={\rm IR}=r\)（内接円の半径）
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm IP}\perp{\rm BC}~,~{\rm IQ}\perp{\rm CA}~,~{\rm IR}\perp{\rm AB}\)
また、直角三角形の合同より、
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BP}={\rm BR}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
定理：三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を内心といい、三角形の内接円の中心となる。
■ 三角形の内心と角度
\({\rm AI}~,~{\rm BI}~,~{\rm CI}\) はそれぞれ角の二等分線より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAI}&=&\angle {\rm CAI}\\[3pt]~~~\angle {\rm ABI}&=&\angle {\rm CBI}\\[3pt]~~~\angle {\rm ACI}&=&\angle {\rm BCI}\end{eqnarray}\)
■ 三角形の内心と内接円
辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) は円に接するので、
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm IP}={\rm IQ}={\rm IR}=r\)（内接円の半径）
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm IP}\perp{\rm BC}~,~{\rm IQ}\perp{\rm CA}~,~{\rm IR}\perp{\rm AB}\)
また、直角三角形の合同より、
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BP}={\rm BR}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
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詳しい解説｜三角形の内心と角度
図形の性質 06\(\triangle {\rm ABC}\) と内心 \({\rm I}\) において、\(\angle {\rm A}=70^\circ~,~\angle {\rm ACI}=35^\circ\) のとき、\(\angle {\rm IBC}\) と \(\angle {\rm BIC}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
内心 \({\rm I}\) は角の二等分線の交点より、
\(\angle {\rm ACI}=\angle {\rm BCI}=35^\circ\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ACB}&=&35^\circ+35^\circ\\[3pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}\)
次に、三角形の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ABC}&=&180^\circ-(70^\circ+70^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-140^\circ\\[3pt]~~~&=&40^\circ\end{eqnarray}\)
また、\({\rm BI}\) は \(\angle {\rm B}\) の二等分線より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm IBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\angle {\rm ABC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}40^\circ\\[5pt]~~~&=&20^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm IBC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BIC}&=&180^\circ-(\angle {\rm IBC}+\angle {\rm ICB})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(20^\circ+35^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-55^\circ\\[3pt]~~~&=&125^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm IBC}=20^\circ~,~\angle {\rm BIC}=125^\circ\) となる
