- 数学A｜図形の性質「メネラウスの定理と線分の比」の基本例題解説ページです。
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問題｜メネラウスの定理と線分の比
図形の性質 13\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AB}\) の中点を \({\rm R}\) として、直線 \({\rm PR}\) と辺 \({\rm AC}\) の交点を \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}\) と \({\rm PQ}:{\rm QR}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
メネラウスの定理と線分の比
Point：メネラウスの定理と線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長線が、三角形の頂点を通らない \(1\) つの直線と交わる点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形と直線に着目し、頂点 \({\rm A}\) から一周して交点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通り頂点 \({\rm A}\) に戻るルートを考える。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するメネラウスの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
メネラウスの定理を用いた線分の比は、
\(\triangle {\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長線が、三角形の頂点を通らない \(1\) つの直線と交わる点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形と直線に着目し、頂点 \({\rm A}\) から一周して交点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通り頂点 \({\rm A}\) に戻るルートを考える。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するメネラウスの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
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詳しい解説｜メネラウスの定理と線分の比
図形の性質13\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm AB}\) の中点を \({\rm R}\) として、直線 \({\rm PR}\) と辺 \({\rm AC}\) の交点を \({\rm Q}\) とするとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}\) と \({\rm PQ}:{\rm QR}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\({\rm AQ}:{\rm QC}\) について、直線 \({\rm RP}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) に着目すると、
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\) と一周するメネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm AR}:{\rm RB}=1:1\) 、\({\rm BP}:{\rm PC}=3:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AQ}:{\rm QC}=3:1\) となる
\({\rm PQ}:{\rm QR}\) について、辺 \({\rm AC}\) と \(\triangle {\rm RBP}\) に着目すると、
\({\rm R} \to {\rm A} \to {\rm B} \to {\rm C} \to {\rm P} \to {\rm Q} \to {\rm R}\) と一周するメネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm RA}\,}{\,{\rm AB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm CP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PQ}\,}{\,{\rm QR}\,}=1\)
\({\rm RA}:{\rm AB}=1:(1+1)=1:2\) 、\({\rm BC}:{\rm CP}=(3-1):1=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,{\rm PQ}\,}{\,{\rm QR}\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm PQ}\,}{\,{\rm QR}\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm PQ}:{\rm QR}=1:1\) となる
定理の証明
証明01\(3\) 点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) が次の図のような位置にある場合にも、メネラウスの定理 \(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立つことを証明せよ。
高校数学A｜図形の性質
[証明]
頂点 \({\rm C}\) を通り、直線 \(\ell\) に平行な直線を引き、直線 \({\rm AB}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、
\({\rm CD}\,/\!/\,{\rm PR}\) より、三角形と平行線の比の関係から、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RD}\,}\)
また、\({\rm CD}\,/\!/\,{\rm QR}\) より、三角形の相似から、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm DR}\,}{\,{\rm RA}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RD}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm DR}\,}{\,{\rm RA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立つ [終]
