- 数学A｜図形の性質「外角の二等分線の交点（傍心）」の基本例題解説ページです。
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問題｜外角の二等分線の交点（傍心）
図形の性質 08☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm B}\) の外角の二等分線と \(\angle {\rm C}\) の外角の二等分線の交点を \({\rm I}\) とするとき、\({\rm I}\) は \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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外角の二等分線の交点（傍心）
解法のPoint
外角の二等分線の交点（傍心）
Point：外角の二等分線の交点（傍心）
定理：三角形の \(1\) つの頂点における内角の二等分線と、他の \(2\) つの頂点における外角の二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の傍心といい、傍接円の中心となる。
また、\(\angle {\rm A}~,~\angle {\rm B}~,~\angle {\rm C}\) のそれぞれに対して \(1\) つずつ存在する。
定理：三角形の \(1\) つの頂点における内角の二等分線と、他の \(2\) つの頂点における外角の二等分線は \(1\) 点で交わる。
この点を三角形の傍心といい、傍接円の中心となる。
また、\(\angle {\rm A}~,~\angle {\rm B}~,~\angle {\rm C}\) のそれぞれに対して \(1\) つずつ存在する。
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詳しい解説｜外角の二等分線の交点（傍心）
図形の性質 08☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm B}\) の外角の二等分線と \(\angle {\rm C}\) の外角の二等分線の交点を \({\rm I}\) とするとき、\({\rm I}\) は \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
外角の二等分線の交点を \({\rm I}\) として、
\({\rm I}\) から、辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm ID}\)、
辺 \({\rm AC}\) の延長に下ろした垂線を \({\rm IE}\)、
辺 \({\rm AB}\) の延長に下ろした垂線を \({\rm IF}\) とする
直角三角形の合同 \(\triangle {\rm IBF}\equiv\triangle {\rm IBD}\) より、
\({\rm IF}={\rm ID}\)
また、\(\triangle {\rm ICE}\equiv\triangle {\rm ICD}\) より、
\({\rm IE}={\rm ID}\)
よって、
\({\rm IF}={\rm IE}\)
これより、点 \({\rm I}\) は \(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) から等距離にあるので、点 \({\rm I}\) は \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線上にある [終]
