- 数学A｜図形の性質「メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明
図形の性質 18☆\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点を \({\rm D}\) 、\(\angle {\rm B}\) の二等分線と辺 \({\rm AC}\) との交点を \({\rm E}\) 、\(\angle {\rm C}\) の二等分線と辺 \({\rm AB}\) との交点を \({\rm F}\) とすとき、\(3\) 点 \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) は一直線上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明
Point：メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明
① 条件より、それぞれの辺やその延長上にとる点の比の条件式を求める。
角の二等分線の条件より、
② 各辺の比をかけて、メネラウスの定理の逆が成り立つことを示し、メネラウスの定理の逆により、\(3\) 点が一直線上にあることを示す。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}=1\)
メネラウスの定理の逆
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長上に、それぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) があり、この \(3\) 点のうち、\(1\) 個または \(3\) 個が辺の延長上にあるとする。このとき、\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立てば、\(3\) 点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) は一直線上にある。
\(3\) 点が一直線上に並ぶことの証明は、
① 条件より、それぞれの辺やその延長上にとる点の比の条件式を求める。
角の二等分線の条件より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,}~,~\displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AB}\,}{\,{\rm AC}\,}~,~\displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}\)
② 各辺の比をかけて、メネラウスの定理の逆が成り立つことを示し、メネラウスの定理の逆により、\(3\) 点が一直線上にあることを示す。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}=1\)
メネラウスの定理の逆
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長上に、それぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) があり、この \(3\) 点のうち、\(1\) 個または \(3\) 個が辺の延長上にあるとする。このとき、\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立てば、\(3\) 点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) は一直線上にある。
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詳しい解説｜メネラウスの定理の逆と3点が一直線上の証明
図形の性質18☆\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長との交点を \({\rm D}\) 、\(\angle {\rm B}\) の二等分線と辺 \({\rm AC}\) との交点を \({\rm E}\) 、\(\angle {\rm C}\) の二等分線と辺 \({\rm AB}\) との交点を \({\rm F}\) とすとき、\(3\) 点 \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) は一直線上にあることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\(\angle {\rm C}\) の内角の二等分線より、
\({\rm AF}:{\rm FB}={\rm CA}:{\rm CB}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線より、
\({\rm BD}:{\rm DC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AB}\,}{\,{\rm AC}\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\angle {\rm B}\) の内角の二等分線より、
\({\rm CE}:{\rm EA}={\rm BC}:{\rm BA}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) の各辺の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AB}\,}{\,{\rm AC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{\rm AC}\,}{\,\cancel{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\rm AB}\,}{\,\cancel{\rm AC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\rm BC}\,}{\,\cancel{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}&=&1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{\rm AC}\,}{\,\cancel{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\rm AB}\,}{\,\cancel{\rm AC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\rm BC}\,}{\,\cancel{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AF}\,}{\,{\rm FB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm DC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CE}\,}{\,{\rm EA}\,}&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、メネラウスの定理の逆により、\(3\) 点 \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) は一直線上にある [終]
