- 数学A｜図形の性質「チェバ・メネラウスの定理を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜チェバ・メネラウスの定理を用いた証明
図形の性質 15☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上に \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) となるように点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとり、線分 \({\rm PC}\) と \({\rm QB}\) との交点を \({\rm O}\) として、直線 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm R}\) とするとき、点 \({\rm R}\) が辺 \({\rm BC}\) の中点であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
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チェバ・メネラウスの定理を用いた証明
解法のPoint
チェバ・メネラウスの定理を用いた証明
Point：チェバ・メネラウスの定理を用いた証明チェバ・メネラウスの定理を用いた証明は、
■ 三角形の内部の点で交わる線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) について、チェバの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\(\triangle {\rm ABP}\) と直線 \({\rm CR}\) について、メネラウスの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm CP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PO}\,}{\,{\rm OA}\,}=1\)
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~\Leftrightarrow ~{\rm AP}:{\rm PB}={\rm AQ}:{\rm QC}\)
■ 三角形の内部の点で交わる線分の比
\(\triangle {\rm ABC}\) について、チェバの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
■ 三角形と \(1\) 本の直線
\(\triangle {\rm ABP}\) と直線 \({\rm CR}\) について、メネラウスの定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm CP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PO}\,}{\,{\rm OA}\,}=1\)
■ 三角形と平行線
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~\Leftrightarrow ~{\rm AP}:{\rm PB}={\rm AQ}:{\rm QC}\)
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詳しい解説｜チェバ・メネラウスの定理を用いた証明
図形の性質15☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上に \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) となるように点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとり、線分 \({\rm PC}\) と \({\rm QB}\) との交点を \({\rm O}\) として、直線 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm R}\) とするとき、点 \({\rm R}\) が辺 \({\rm BC}\) の中点であることの証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) より、三角形と平行線の比の関係を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm PB}&=&{\rm AQ}:{\rm QC}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AP}\,}{\,{\rm PB}\,}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm AQ}\,}{\,{\rm QC}\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) のチェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AP}\,}{\,{\rm PB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AQ}\,}{\,{\rm QC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\cancel{\rm AQ}\,}{\,\cancel{\rm QC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\rm CQ}\,}{\,\cancel{\rm QA}\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm BR}\,}{\,{\rm RC}\,}&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm BR}:{\rm RC}=1:1\)
したがって、点 \({\rm R}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点である [終]
