- 数学A｜図形の性質「正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理
図形の性質 43正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体について、それぞれの面の形、面の数、\(1\) つの頂点に集まる面の数、頂点の数、辺の数を調べて、オイラーの多面体の定理が成り立つことの調べ方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理
Point：正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理
凸多面体の頂点の数を \(v\)、辺の数を \(e\)、面の数を \(f\) とすると、
\(v-e+f=2\)
■ 正多面体
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
正多面体 & 面の形 & 面の数 & \begin{array}{c}1\,つの頂点に\\集まる面の数\end{array} & 頂点の数 & 辺の数
\\ \hline
正四面体 & 正三角形 & 4 & 3 & 4 & 6
\\ \hline
正六面体 & 正方形 & 6 & 3 & 8 & 12
\\ \hline
正八面体 & 正三角形 & 8 & 4 & 6 & 12
\\ \hline
正十二面体 & 正五角形 & 12 & 3 & 20 & 30
\\ \hline
\,正二十面体\, & \,正三角形\, & 20 & 5 & 12 & 30
\end{array}\)
正多面体 & 面の形 & 面の数 & \begin{array}{c}1\,つの頂点に\\集まる面の数\end{array} & 頂点の数 & 辺の数
\\ \hline
正四面体 & 正三角形 & 4 & 3 & 4 & 6
\\ \hline
正六面体 & 正方形 & 6 & 3 & 8 & 12
\\ \hline
正八面体 & 正三角形 & 8 & 4 & 6 & 12
\\ \hline
正十二面体 & 正五角形 & 12 & 3 & 20 & 30
\\ \hline
\,正二十面体\, & \,正三角形\, & 20 & 5 & 12 & 30
\end{array}\)
※ 表は横にスクロールできます。
■ オイラーの多面体の定理
凸多面体の頂点の数を \(v\)、辺の数を \(e\)、面の数を \(f\) とすると、
\(v-e+f=2\)
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詳しい解説｜正多面体の面・頂点・辺とオイラーの定理
図形の性質 43正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体について、それぞれの面の形、面の数、\(1\) つの頂点に集まる面の数、頂点の数、辺の数を調べて、オイラーの多面体の定理が成り立つことの調べ方は？
高校数学A｜図形の性質
正四面体は、
面の形は正三角形、面の数は \(4\)
また、\(1\) つの頂点に集まる面の数は \(3\)
\(1\) つの面（正三角形）の頂点は \(3\) つなので、面の数はそれぞれ \(4\) つあり、\(1\) つの頂点に \(3\) つの面が集まるので、頂点の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}4\,}{\,3\,}=4\end{eqnarray}\)
\(1\) つの面（正三角形）の辺は \(3\) つで、面の数はそれぞれ \(4\) つあるが、\(1\) つの辺に \(2\) つの面が集まるので、辺の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}4\,}{\,2\,}=6\end{eqnarray}\)
これより、面の数 \(4\)、頂点の数 \(4\)、辺の数 \(6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)
\\[3pt]~~~&=&4-6+4
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、オイラーの多面体の定理が成り立つ
正六面体は、
面の形は正方形、面の数は \(6\)
また、\(1\) つの頂点に集まる面の数は \(3\)
\(1\) つの面（正方形）の頂点は \(4\) つなので、面の数はそれぞれ \(6\) つあり、\(1\) つの頂点に \(3\) つの面が集まるので、頂点の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}6\,}{\,3\,}=8\end{eqnarray}\)
\(1\) つの面（正方形）の辺は \(4\) つで、面の数はそれぞれ \(6\) つあるが、\(1\) つの辺に \(2\) つの面が集まるので、辺の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}6\,}{\,2\,}=12\end{eqnarray}\)
これより、面の数 \(6\)、頂点の数 \(8\)、辺の数 \(12\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)
\\[3pt]~~~&=&8-12+6
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、オイラーの多面体の定理が成り立つ
正八面体は、
面の形は正三角形、面の数は \(8\)
また、\(1\) つの頂点に集まる面の数は \(4\)
\(1\) つの面（正三角形）の頂点は \(3\) つなので、面の数はそれぞれ \(8\) つあり、\(1\) つの頂点に \(4\) つの面が集まるので、頂点の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}8\,}{\,4\,}=6\end{eqnarray}\)
\(1\) つの面（正三角形）の辺は \(3\) つで、面の数はそれぞれ \(8\) つあるが、\(1\) つの辺に \(2\) つの面が集まるので、辺の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}8\,}{\,2\,}=12\end{eqnarray}\)
これより、面の数 \(8\)、頂点の数 \(6\)、辺の数 \(12\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)
\\[3pt]~~~&=&6-12+8
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、オイラーの多面体の定理が成り立つ
正十二面体は、
面の形は正五角形、面の数は \(12\)
また、\(1\) つの頂点に集まる面の数は \(3\)
\(1\) つの面（正五角形）の頂点は \(5\) つなので、面の数はそれぞれ \(12\) つあり、\(1\) つの頂点に \(3\) つの面が集まるので、頂点の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}12\,}{\,3\,}=20\end{eqnarray}\)
\(1\) つの面（正五角形）の辺は \(5\) つで、面の数はそれぞれ \(12\) つあるが、\(1\) つの辺に \(2\) つの面が集まるので、辺の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}12\,}{\,2\,}=30\end{eqnarray}\)
これより、面の数 \(12\)、頂点の数 \(20\)、辺の数 \(30\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)
\\[3pt]~~~&=&20-30+12
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、オイラーの多面体の定理が成り立つ
正二十面体は、
面の形は正三角形、面の数は \(20\)
また、\(1\) つの頂点に集まる面の数は \(5\)
\(1\) つの面（正三角形）の頂点は \(3\) つなので、面の数はそれぞれ \(20\) つあり、\(1\) つの頂点に \(5\) つの面が集まるので、頂点の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}20\,}{\,5\,}=12\end{eqnarray}\)
\(1\) つの面（正三角形）の辺は \(3\) つで、面の数はそれぞれ \(20\) つあるが、\(1\) つの辺に \(2\) つの面が集まるので、辺の数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}20\,}{\,2\,}=30\end{eqnarray}\)
これより、面の数 \(20\)、頂点の数 \(12\)、辺の数 \(30\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)
\\[3pt]~~~&=&12-30+20
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、オイラーの多面体の定理が成り立つ
