- 数学A｜図形の性質「接線と弦の作る角」の基本例題解説ページです。
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問題｜接線と弦の作る角
図形の性質 26円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) がつくる角 \(\angle {\rm BAT}=40^\circ\) のとき、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
接線と弦の作る角
Point：接線と弦の作る角
定理：円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と、その端点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) が作る角 \(\angle {\rm BAT}\) は、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) に等しい。
\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm BAT}\)
同様に、
\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm CAS}\)
定理：円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と、その端点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) が作る角 \(\angle {\rm BAT}\) は、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) に等しい。
\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm BAT}\)
同様に、
\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm CAS}\)
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詳しい解説｜接線と弦の作る角
図形の性質 26円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) がつくる角 \(\angle {\rm BAT}=40^\circ\) のとき、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) の大きさの求め方は？
高校数学A｜図形の性質
接線 \({\rm AT}\) と弦 \({\rm AB}\) の作る角 \(\angle {\rm BAT}\) は、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) に等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ACB}&=&\angle {\rm BAT}\\[3pt]~~~&=&40^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm ACB}=40^\circ\) となる
定理の証明
証明01円 \({\rm O}\) の弦 \({\rm AB}\) と、その端点 \({\rm A}\) における接線 \({\rm AT}\) が作る角 \(\angle {\rm BAT}\) は、その角の内部に含まれる弧 \({\rm AB}\) に対する円周角 \(\angle {\rm ACB}\) に等しい。
[証明]
\({\small [\,1\,]}~\angle {\rm BAT}\) が鋭角の場合
円 \({\rm O}\) の周上に、\({\rm AD}\) が円 \({\rm O}\) の直径となるように点 \({\rm D}\) をとると、
接線は接点を通る半径に垂直であり、\({\rm AD}\perp{\rm AT}\) となるので、
\(\angle {\rm BAT}=90°-\angle {\rm BAD}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\({\rm AD}\) は直径であり、半円の弧に対する円周角は \(90°\) であるから、\(\angle {\rm ABD}=90°\) となるので、
\(\angle {\rm ADB}=90°-\angle {\rm BAD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm BAT}=\angle {\rm ADB}\)
ここで、\(\angle {\rm ACB}\) と \(\angle {\rm ADB}\) は弧 \({\rm AB}\) に対する円周角であるので、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm ACB}\)
よって、
\(\angle {\rm BAT}=\angle {\rm ACB}\)
\({\small [\,2\,]}~\angle {\rm BAT}\) が直角の場合
\(\angle {\rm BAT}=90°\) のとき、弦 \({\rm AB}\) は接点 \({\rm A}\) を通る直径となるので、
\(\angle {\rm ACB}\) は半円の弧に対する円周角であるから、
\(\angle {\rm ACB}=90°\)
よって、
\(\angle {\rm BAT}=90°=\angle {\rm ACB}\)
\({\small [\,3\,]}~\angle {\rm BAT}\) が鈍角の場合
円 \({\rm O}\) の周上に、\({\rm AD}\) が円 \({\rm O}\) の直径となるように点 \({\rm D}\) をとると、
\({\small [\,1\,]}\) と同様に、\(\angle {\rm BAD}\) の分だけ直角からはみ出すので、
\(\angle {\rm BAT}=90°+\angle {\rm BAD}\)
また、四角形 \({\rm ABDC}\) において、\(\angle {\rm ACB}\) も同様に考えると、
\(\angle {\rm ACB}=90°+\angle {\rm BCD}\)
ここで、\(\angle {\rm BAD}\) と \(\angle {\rm BCD}\) は弧 \({\rm BD}\) に対する円周角であるので、
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm BCD}\)
よって、
\(\angle {\rm BAT}=\angle {\rm ACB}\)
したがって、いずれの場合も \(\angle {\rm BAT}=\angle {\rm ACB}\) が成り立つ [終]
