- 数学A｜図形の性質「2つの線分の積・商や平方根の長さの作図」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの線分の積・商や平方根の長さの作図
図形の性質 36[作図] 長さ \(1\) の線分 \({\rm AB}\) と長さ \(a~,~b\) の線分が与えられたとき、長さ \(ab\) 、長さ \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) 、長さ \(\sqrt{\,a\,}\) の線分の作図の方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
2つの線分の積・商や平方根の長さの作図
Point：2つの線分の積・商や平方根の長さの作図
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=a\) 、直線 \({\rm AB}\) 上に \({\rm AQ}=b\) となる点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとる。
③ 点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \(\ell\) との交点までの長さが \(ab\) となる。
※ 三角形の平行線と比の関係の定理を利用している。
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=a\) 、\({\rm PQ}=b\) となる点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとる。
③ 点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \({\rm AB}\) との交点までの長さが \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) となる。
※ 三角形の平行線と比の関係の定理を利用している。
① 線分 \({\rm AB}\) の \({\rm B}\) の延長上に \({\rm BC}=a\) となる点 \({\rm C}\) をとる。
② \({\rm AC}\) を直径とする円 \({\rm O}\) をかく。
③ 点 \({\rm B}\) を通り \({\rm AB}\) に垂直な直線と円との交点を \({\rm D}~,~{\rm E}\) とすると、\({\rm BD}\) の長さが \(\sqrt{\,a\,}\) となる。
※ 方べきの定理を利用している。
■ 長さ \(ab\) の作図
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=a\) 、直線 \({\rm AB}\) 上に \({\rm AQ}=b\) となる点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとる。
③ 点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \(\ell\) との交点までの長さが \(ab\) となる。
※ 三角形の平行線と比の関係の定理を利用している。
■ 長さ \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) の作図
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=a\) 、\({\rm PQ}=b\) となる点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をとる。
③ 点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \({\rm AB}\) との交点までの長さが \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) となる。
※ 三角形の平行線と比の関係の定理を利用している。
■ 長さ \(\sqrt{\,a\,}\) の作図
① 線分 \({\rm AB}\) の \({\rm B}\) の延長上に \({\rm BC}=a\) となる点 \({\rm C}\) をとる。
② \({\rm AC}\) を直径とする円 \({\rm O}\) をかく。
③ 点 \({\rm B}\) を通り \({\rm AB}\) に垂直な直線と円との交点を \({\rm D}~,~{\rm E}\) とすると、\({\rm BD}\) の長さが \(\sqrt{\,a\,}\) となる。
※ 方べきの定理を利用している。
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詳しい解説｜2つの線分の積・商や平方根の長さの作図
図形の性質 36[作図] 長さ \(1\) の線分 \({\rm AB}\) と長さ \(a~,~b\) の線分が与えられたとき、長さ \(ab\) 、長さ \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) 、長さ \(\sqrt{\,a\,}\) の線分の作図の方法は？
高校数学A｜図形の性質
長さ \(ab\) の線分の作図は、
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=a\) となる点 \({\rm P}\) を、直線 \({\rm AB}\) 上に \({\rm AQ}=b\) となる点 \({\rm Q}\) をとる。
③ 線分 \({\rm BP}\) を引き、点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \(\ell\) との交点 \({\rm R}\) までの長さ \({\rm AR}\) が \(ab\) となる。
長さ \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) の線分の作図は、
① 点 \({\rm A}\) を通る直線 \({\rm AB}\) とは異なる直線 \(\ell\) を引く。
② 直線 \(\ell\) 上に \({\rm AP}=b\) となる点 \({\rm P}\) を、その先に \({\rm AQ}=a\) となる点 \({\rm Q}\) をとる。
③ 線分 \({\rm BP}\) を引き、点 \({\rm Q}\) を通り \({\rm BP}\) に平行な直線と直線 \({\rm AB}\) との交点 \({\rm R}\) までの長さ \({\rm AR}\) が \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) となる。
長さ \(\sqrt{\,a\,}\) の線分の作図は、
① 線分 \({\rm AB}\) の \({\rm B}\) 側の延長上に \({\rm BC}=a\) となる点 \({\rm C}\) をとる。
② 線分 \({\rm AC}\) を直径とする円 \({\rm O}\) をかく。
③ 点 \({\rm B}\) を通り直線 \({\rm AB}\) に垂直な直線を引き、円との交点を \({\rm D}~,~{\rm E}\) とすると、\({\rm BD}\) の長さが \(\sqrt{\,a\,}\) となる。
