- 数学A｜図形の性質「三角形の外部の点とチェバの定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の外部の点とチェバの定理
図形の性質 16☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm R}\) 、辺 \({\rm AC}\) を \(4:1\) に外分する点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm BQ}\) と \({\rm CR}\) の交点を \({\rm O}\) 、線分 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}:{\rm PC}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
三角形の外部の点とチェバの定理
Point：三角形の外部の点とチェバの定理
\(\triangle {\rm ABC}\) の外部の点 \({\rm O}\) について、頂点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) と \({\rm O}\) を結ぶ直線 \({\rm AO}~,~{\rm BO}~,~{\rm CO}\) と、辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) との交点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形に着目して、頂点を出発して三角形を一周し、元の頂点に戻るルートを考える。
頂点 \({\rm A}\) から出発し、交点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周する。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するチェバの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
※ 外分するときの比に注意する。
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
外部の点 \({\rm O}\) とチェバの定理は、
\(\triangle {\rm ABC}\) の外部の点 \({\rm O}\) について、頂点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) と \({\rm O}\) を結ぶ直線 \({\rm AO}~,~{\rm BO}~,~{\rm CO}\) と、辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) との交点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
① 求めたい比を含む三角形に着目して、頂点を出発して三角形を一周し、元の頂点に戻るルートを考える。
頂点 \({\rm A}\) から出発し、交点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周する。
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
② このルートの比の値を順に掛け算するチェバの定理の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
※ 外分するときの比に注意する。
③ 線分の長さや辺の比を代入し、求めたい辺の比を計算する。
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詳しい解説｜三角形の外部の点とチェバの定理
図形の性質16☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に外分する点を \({\rm R}\) 、辺 \({\rm AC}\) を \(4:1\) に外分する点を \({\rm Q}\) 、線分 \({\rm BQ}\) と \({\rm CR}\) の交点を \({\rm O}\) 、線分 \({\rm AO}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とするとき、\({\rm BP}:{\rm PC}\) の求め方は？
高校数学A｜図形の性質
\(\triangle {\rm ABC}\) のチェバの定理より、
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\) と外分点 \({\rm R}~,~{\rm Q}\) 、内分点 \({\rm P}\) を通って一周すると、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm AR}:{\rm RB}=3:1\) 、\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}:{\rm PC}=4:3\) となる
定理の証明
証明01\(3\) 点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) が次の図のような位置にある場合にも、チェバの定理が成り立つことを証明せよ。
高校数学A｜図形の性質
[証明]
\(3\) 直線 \({\rm AP}~,~{\rm BQ}~,~{\rm CR}\) の交点を \({\rm O}\) とする
頂点 \({\rm B}~,~{\rm C}\) から直線 \({\rm AP}\) に垂線 \({\rm BD}~,~{\rm CE}\) を下ろし、\(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ACO}\) において、\({\rm AO}\) を底辺と考えると、
\(\displaystyle \frac{\,\triangle {\rm ABO}\,}{\,\triangle {\rm ACO}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm CE}\,}\)
また、\({\rm BD}\,/\!/\,{\rm CE}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm BD}\,}{\,{\rm CE}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm CP}\,}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,\triangle {\rm ABO}\,}{\,\triangle {\rm ACO}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm CP}\,}\)
同様に、
\(\displaystyle \frac{\,\triangle {\rm BCO}\,}{\,\triangle {\rm ABO}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\triangle {\rm CAO}\,}{\,\triangle {\rm BCO}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\triangle {\rm ABO}\,}{\,\triangle {\rm CAO}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\triangle {\rm BCO}\,}{\,\triangle {\rm ABO}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\triangle {\rm CAO}\,}{\,\triangle {\rm BCO}\,}=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立つ [終]
