- 数学A｜図形の性質「三角形と比の定理と中点連結定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形と比の定理と中点連結定理
図形の性質 01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上の点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AP}:{\rm PB}=2:1\) のとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}~,~\)\({\rm PQ}:{\rm BC}\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\) と \({\rm BC}\) に成り立つ式は？
高校数学A｜図形の性質
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三角形と比の定理と中点連結定理
解法のPoint
三角形と比の定理と中点連結定理
Point：三角形と比の定理と中点連結定理■ 三角形と比の定理
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Leftrightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm AQ}:{\rm AC}\)
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Leftrightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm PB}={\rm AQ}:{\rm QC}\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Rightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC}\)
※ \({\small [\,3\,]}\) は逆が成り立たないので注意。
\({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点が \({\rm P}~,~{\rm Q}\) のとき、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\)
\({\small [\,1\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Leftrightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm AQ}:{\rm AC}\)
\({\small [\,2\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Leftrightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm PB}={\rm AQ}:{\rm QC}\)
\({\small [\,3\,]}\) \({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
\(~\Rightarrow ~ \)\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC}\)
※ \({\small [\,3\,]}\) は逆が成り立たないので注意。
■ 中点連結定理
\({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点が \({\rm P}~,~{\rm Q}\) のとき、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\)
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詳しい解説｜三角形と比の定理と中点連結定理
図形の性質 01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上の点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AP}:{\rm PB}=2:1\) のとき、\({\rm AQ}:{\rm QC}~,~\)\({\rm PQ}:{\rm BC}\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\) と \({\rm BC}\) に成り立つ式は？
高校数学A｜図形の性質
三角形と比の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AQ}:{\rm QC}&=&{\rm AP}:{\rm PB}\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}:{\rm BC}&=&{\rm AP}:{\rm AB}\\[3pt]~~~&=&2:2+1\\[3pt]~~~&=&2:3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AQ}:{\rm QC}=2:1~,~{\rm PQ}:{\rm BC}=2:3\) となる
次に、\({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点が \({\rm P}~,~{\rm Q}\) のとき、中点連結定理が成り立つ
したがって、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\) が成り立つ
