- 数学A｜図形の性質「チェバの定理の逆と1点で交わることの証明」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜チェバの定理の逆と1点で交わることの証明
図形の性質 17☆チェバの定理の逆を用いた「三角形の \(3\) 本の中線は \(1\) 点で交わる」と「三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる」の証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
解法のPoint
チェバの定理の逆と1点で交わることの証明
Point：チェバの定理の逆と1点で交わることの証明
① 条件より、それぞれの辺やその延長上にとる点の比の条件式を求める。
中線の条件より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1~,~\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}=1~,~\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
② 各辺の比をかけて、チェバの定理が成り立つことを示し、チェバの定理の逆により、\(3\) 直線が \(1\) 点で交わることを示す。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
チェバの定理の逆
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長上に、それぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) があり、この \(3\) 点のうち、\(1\) 個または \(3\) 個が辺上にあるとする。
このとき、\({\rm BQ}\) と \({\rm CR}\) が交わり、かつ \(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立てば、\(3\) 直線 \({\rm AP}~,~{\rm BQ}~,~{\rm CR}\) は \(1\) 点で交わる。
\(3\) 本の直線が \(1\) 点で交わることの証明は、
① 条件より、それぞれの辺やその延長上にとる点の比の条件式を求める。
中線の条件より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1~,~\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}=1~,~\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
② 各辺の比をかけて、チェバの定理が成り立つことを示し、チェバの定理の逆により、\(3\) 直線が \(1\) 点で交わることを示す。
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
チェバの定理の逆
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) またはその延長上に、それぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) があり、この \(3\) 点のうち、\(1\) 個または \(3\) 個が辺上にあるとする。
このとき、\({\rm BQ}\) と \({\rm CR}\) が交わり、かつ \(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1\) が成り立てば、\(3\) 直線 \({\rm AP}~,~{\rm BQ}~,~{\rm CR}\) は \(1\) 点で交わる。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜チェバの定理の逆と1点で交わることの証明
図形の性質17☆チェバの定理の逆を用いた「三角形の \(3\) 本の中線は \(1\) 点で交わる」と「三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる」の証明方法は？
高校数学A｜図形の性質
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) のそれぞれの辺の中点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
\({\rm AR}:{\rm RB}=1:1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm BP}:{\rm PC}=1:1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) の各辺の積より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
したがって、チェバの定理の逆により、三角形の \(3\) 本の中線は \(1\) 点で交わる [終]
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) のそれぞれの内角の二等分線と対辺の交点を \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
角の二等分線と線分の比より、
\({\rm AR}:{\rm RB}={\rm CA}:{\rm CB}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm BP}:{\rm PC}={\rm AB}:{\rm AC}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm AB}\,}{\,{\rm AC}\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm CQ}:{\rm QA}={\rm BC}:{\rm BA}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=\displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) の各辺の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm AB}\,}{\,{\rm AC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm AC}}\,}{\,\cancel{{\rm BC}}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm AB}}\,}{\,\cancel{{\rm AC}}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm BC}}\,}{\,\cancel{{\rm AB}}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm AC}}\,}{\,\cancel{{\rm BC}}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm AB}}\,}{\,\cancel{{\rm AC}}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{{\rm BC}}\,}{\,\cancel{{\rm AB}}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、チェバの定理の逆により、三角形の \(3\) つの内角の二等分線は \(1\) 点で交わる [終]
